Криволинейное движение. Движение материальной точки по окружности

Изменение направления — тоже изменение скорости

Автомобиль проходит поворот с постоянным показанием спидометра. Его скорость как вектор всё равно меняется: до поворота и после него автомобиль движется в разных направлениях. Значит, на повороте есть ускорение, даже если модуль скорости не изменяется.

Криволинейное движение — движение, при котором траектория является кривой линией. Движение по окружности — один из его важных частных случаев. Так движутся точка обода колеса относительно его центра или небольшой спутник в модели круговой орбиты.

Чтобы описывать положение тела одной точкой, используем модель материальной точки. Она применима, когда размеры и форма тела несущественны для выбранной задачи. Можно также рассматривать движение конкретной точки протяжённого тела, например точки вращающегося диска.

Куда направлена скорость

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Для окружности касательная перпендикулярна радиусу, проведённому к рассматриваемой точке.

Представьте точку, движущуюся против часовой стрелки по окружности. В крайней правой точке скорость направлена вверх, в верхней — влево, в крайней левой — вниз, а в нижней — вправо.

Если в некоторой точке действие, удерживающее тело на окружности, исчезнет, то при отсутствии других внешних воздействий тело продолжит движение по касательной. Оно не полетит вдоль радиуса только потому, что раньше двигалось по окружности.

Путь и перемещение

Путь \(s\) — длина пройденной дуги. Перемещение \(\Delta\vec r\) соединяет начальную и конечную точки. Эти величины различаются.

При радиусе окружности \(R\):

Участок движения	Путь	Модуль перемещения
Половина оборота	\(\pi R\)	\(2R\)
Полный оборот	\(2\pi R\)	\(0\)

После полного оборота точка возвращается в исходное положение, поэтому перемещение равно нулю. Но пройденный путь равен длине окружности. Средняя векторная скорость за полный оборот равна нулю, тогда как средняя путевая скорость ненулевая.

Равномерное движение по окружности

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, а направление непрерывно меняется. За равные промежутки времени точка проходит равные дуги и поворачивается на равные углы.

Слово «равномерное» здесь относится к постоянству быстроты. Такое движение не является равномерным прямолинейным: вектор скорости не постоянен, ускорение не равно нулю.

Период и частота

Период обращения \(T\) — время одного полного оборота. Частота обращения \(\nu\) — число оборотов за единицу времени. Если за время \(t\) выполнено \(N\) полных оборотов:

\[ T = \frac{t}{N}, \qquad \nu = \frac{N}{t}, \qquad \nu = \frac{1}{T}, \qquad T = \frac{1}{\nu}. \]

Период измеряют в секундах. Единица частоты — герц:

\[ 1\ \text{Гц} = 1\ \text{с}^{-1}. \]

Частота 5 Гц означает пять оборотов за секунду. При переводе из оборотов в минуту в обороты в секунду числовое значение делят на 60. Например, 120 об/мин — это 2 об/с, то есть 2 Гц.

Линейная скорость

За один период точка проходит путь \(2\pi R\). Поэтому модуль линейной скорости:

\[ v = \frac{2\pi R}{T} = 2\pi R\nu. \]

Радиус подставляют в метрах, период — в секундах, частоту — в герцах. Тогда скорость получается в м/с.

Угол поворота и угловая скорость

Угол поворота удобно измерять в радианах. Если точка прошла дугу длиной \(s\) по окружности радиуса \(R\), соответствующий угол в радианах равен:

\[ \varphi = \frac{s}{R}. \]

Угол 1 рад соответствует дуге, длина которой равна радиусу. Полный оборот — \(2\pi\) рад, половина оборота — \(\pi\) рад. Если точка совершила несколько оборотов, накопленный угол поворота может быть больше \(2\pi\).

Угловая скорость показывает быстроту изменения угла поворота. Для равномерного обращения её модуль:

\[ \omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu. \]

Единица угловой скорости — рад/с. Угол в формуле должен быть выражен в радианах: нельзя подставлять 360 вместо \(2\pi\) и получить ответ в рад/с.

Модули линейной и угловой скоростей связаны:

\[ v = \omega R. \]

Все точки диска, вращающегося как твёрдое тело вокруг неподвижной оси, имеют одинаковую угловую скорость. Их линейные скорости зависят от расстояния до оси: точка дальше от оси проходит за тот же оборот больший путь и движется быстрее.

Центростремительное ускорение

При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру окружности. Оно меняет направление скорости, а не её модуль. Это центростремительное ускорение.

\[ a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2R}{T^2} = 4\pi^2R\nu^2. \]

Единица ускорения — м/с². Векторы скорости и центростремительного ускорения в каждой точке перпендикулярны друг другу.

Формулы позволяют увидеть зависимости:

при неизменном радиусе увеличение линейной скорости вдвое увеличивает ускорение в четыре раза;
при неизменной линейной скорости увеличение радиуса вдвое уменьшает ускорение вдвое;
при неизменной угловой скорости увеличение радиуса вдвое увеличивает ускорение вдвое.

Последние два вывода относятся к разным условиям. Перед сравнением нужно установить, какая скорость сохраняется — линейная или угловая.

Название «центростремительное» описывает направление ускорения. Оно не означает существования особого отдельного взаимодействия: движение по окружности может обеспечиваться действием нити, дороги, тяготения или другого тела. Эти взаимодействия подробнее рассматриваются в динамике.

Если быстрота меняется

При неравномерном движении по окружности изменяются и направление, и модуль скорости. Ускорение имеет две составляющие: нормальную, направленную к центру, и касательную, направленную вдоль касательной.

\[ a_n = \frac{v^2}{R}. \]

В этой формуле \(v\) — мгновенное значение скорости. Касательная составляющая меняет быстроту движения. Поэтому полное ускорение неравномерно движущейся точки, как правило, не направлено точно к центру. Для равномерного движения касательная составляющая равна нулю.

Разобранные задачи

Задача 1. Найти характеристики обращения

Точка равномерно движется по окружности радиуса 2 м и совершает один оборот за 4 с. Найдите частоту, угловую и линейную скорости, центростремительное ускорение.

Дано: \(R = 2\ \text{м}\); \(T = 4\ \text{с}\).

\[ \nu = \frac{1}{4}\ \text{Гц} = 0{,}25\ \text{Гц}. \]

\[ \omega = \frac{2\pi}{4}\ \text{рад/с} = \frac{\pi}{2}\ \text{рад/с} \approx 1{,}57\ \text{рад/с}. \]

\[ v = \omega R = \pi\ \text{м/с} \approx 3{,}14\ \text{м/с}. \]

\[ a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R} = \frac{\pi^2}{2}\ \text{м/с}^2 \approx 4{,}93\ \text{м/с}^2. \]

Ускорение направлено к центру, скорость — по касательной.

Задача 2. Автомобиль на повороте

Автомобиль движется по дуге окружности радиуса 50 м с постоянной скоростью 36 км/ч. Найдите ускорение.

Переведём скорость:

\[ v = \frac{36}{3{,}6}\ \text{м/с} = 10\ \text{м/с}. \]

\[ a_{\text{ц}} = \frac{10^2}{50}\ \text{м/с}^2 = 2\ \text{м/с}^2. \]

Если на той же дуге скорость увеличить до 72 км/ч, ускорение станет 8 м/с². Удвоение скорости увеличивает требуемое центростремительное ускорение в четыре раза.

Задача 3. Две точки вращающегося диска

Диск вращается с угловой скоростью 20 рад/с. Две его точки находятся на расстояниях 10 см и 30 см от оси. Найдите их линейные скорости и ускорения.

Радиусы в метрах: \(R_1 = 0{,}10\ \text{м}\); \(R_2 = 0{,}30\ \text{м}\).

\[ v_1 = 20 \cdot 0{,}10 = 2\ \text{м/с}, \qquad v_2 = 20 \cdot 0{,}30 = 6\ \text{м/с}. \]

\[ a_1 = 20^2 \cdot 0{,}10 = 40\ \text{м/с}^2, \qquad a_2 = 20^2 \cdot 0{,}30 = 120\ \text{м/с}^2. \]

При общей угловой скорости и линейная скорость, и центростремительное ускорение пропорциональны радиусу.

Как выбирать формулы

Какие данные известны	Удобная последовательность
Радиус и период	\(\nu = 1/T\), \(v = 2\pi R/T\), \(a_{\text{ц}} = v^2/R\)
Радиус и частота	\(\omega = 2\pi\nu\), \(v = \omega R\), \(a_{\text{ц}} = \omega^2R\)
Радиус и линейная скорость	\(\omega = v/R\), \(T = 2\pi R/v\), \(a_{\text{ц}} = v^2/R\)
Число оборотов и время	Сначала \(\nu = N/t\) и \(T = t/N\)

Прежде чем вычислять, переведите радиус в метры, время в секунды, линейную скорость в м/с и частоту в об/с. Затем определите направления векторов. Числовой ответ и направление вместе дают полное описание ускорения.

Краткий итог

При движении по окружности скорость направлена по касательной. При равномерном обращении её модуль постоянен, но направление меняется. Период и частота связаны условием \(T\nu = 1\), а линейная и угловая скорости — условием \(v = \omega R\). Центростремительное ускорение направлено к центру и равно \(v^2/R\). Путь за полный оборот равен \(2\pi R\), а перемещение равно нулю.

Проверьте себя

Почему при постоянном показании спидометра на повороте ускорение автомобиля может быть ненулевым?
Точка движется против часовой стрелки. Куда направлены её скорость и центростремительное ускорение в верхней точке окружности?
За 10 с точка совершила 20 оборотов. Найдите период и частоту.
Колесо вращается с частотой 180 об/мин. Найдите частоту в герцах и угловую скорость.
Радиус окружности 0,5 м, период равномерного обращения 2 с. Найдите линейную скорость и ускорение. Ответы можно оставить через \(\pi\).
Тело движется по окружности радиуса 4 м со скоростью 8 м/с. Найдите центростремительное ускорение и период обращения.
Найдите путь и модуль перемещения за половину оборота по окружности радиуса 3 м. Каковы эти величины за полный оборот?
Во сколько раз изменится центростремительное ускорение, если при прежнем радиусе линейную скорость увеличить втрое?
Две точки диска находятся на расстояниях 5 см и 15 см от оси. Во сколько раз различаются их линейные скорости и центростремительные ускорения при равномерном вращении диска?
Может ли полное ускорение при неравномерном движении по окружности иметь составляющую по касательной? Что она изменяет?
После прекращения удерживающего воздействия тело продолжает двигаться без внешних воздействий. Как направлена его траектория в момент схода с окружности?

Ответы для самопроверки

1. Меняется направление вектора скорости; это изменение создаёт ускорение. 2. Скорость — влево по касательной; ускорение — вниз, к центру окружности. 3. \(\nu = 20/10 = 2\ \text{Гц}\); \(T = 10/20 = 0{,}5\ \text{с}\). 4. \(\nu = 180/60 = 3\ \text{Гц}\); \(\omega = 6\pi\ \text{рад/с} \approx 18{,}85\ \text{рад/с}\). 5. \(v = \pi/2\ \text{м/с} \approx 1{,}57\ \text{м/с}\); \(a_{\text{ц}} = \pi^2/2\ \text{м/с}^2 \approx 4{,}93\ \text{м/с}^2\). 6. \(a_{\text{ц}} = 64/4 = 16\ \text{м/с}^2\); \(T = 2\pi\cdot4/8 = \pi\ \text{с} \approx 3{,}14\ \text{с}\). 7. За половину оборота: путь \(3\pi\ \text{м}\), модуль перемещения 6 м. За полный оборот: путь \(6\pi\ \text{м}\), перемещение нулевое. 8. Ускорение увеличится в девять раз. 9. У более удалённой точки линейная скорость и ускорение в три раза больше. Угловые скорости и периоды одинаковы. 10. Да. Касательная составляющая меняет модуль скорости; нормальная меняет её направление. 11. По касательной к окружности в сторону мгновенной скорости.

Для самостоятельной работы

Повторите определения периода, частоты и угловой скорости. Объясните различие между постоянством модуля скорости и постоянством её вектора. Для тренировки используйте упражнения этой статьи. Отдельное домашнее задание в тематическом плане пока не указано.