Сила упругости. Закон Гука. Вес тела

Пружина растягивается под подвешенным грузом, стол немного прогибается под книгой, а показание весов в ускоряющемся лифте изменяется. Эти явления связаны с деформацией тел и силами, возникающими при их взаимодействии. Чтобы описывать их, нужно различать силу тяжести, силу упругости и вес тела.

Деформация и сила упругости

Деформация — изменение формы или размеров тела. Растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг и кручение — разные виды деформации.

Если после снятия нагрузки тело восстанавливает первоначальную форму и размеры, деформация называется упругой. Если изменение сохраняется, деформация пластическая. Одна и та же пружина при небольшой нагрузке может деформироваться упруго, а при чрезмерной — получить остаточное растяжение.

При деформации изменяется взаимное расположение частиц вещества. Их взаимодействие приводит к появлению силы упругости, стремящейся восстановить исходную форму и размеры тела. Растянутая пружина тянет прикреплённое тело к положению, соответствующему её естественной длине; сжатая пружина толкает его в противоположную сторону.

Сила упругости действует и тогда, когда деформация незаметна. Нормальная реакция опоры — сила, с которой опора действует на тело перпендикулярно поверхности контакта. В обычных задачах она связана с упругой деформацией соприкасающихся тел. Натяжение упругой нити или пружины также возникает при деформации.

Закон Гука

При достаточно малых деформациях модуль силы упругости пружины пропорционален величине её растяжения или сжатия:

\[ F_{\text{упр}}=k\Delta l. \]

Здесь \(\Delta l=|l-l_0|\) — величина изменения длины, \(l_0\) — естественная длина пружины, \(l\) — длина после деформации, \(k\) — жёсткость пружины.

Единица жёсткости:

\[ [k]=\frac{\text{Н}}{\text{м}}. \]

Пружина с жёсткостью \(200\ \text{Н/м}\) при растяжении на \(0{,}01\ \text{м}\) действует с силой \(2\ \text{Н}\). Чем больше жёсткость, тем большая сила нужна для одинаковой деформации. Жёсткость зависит от материала, формы и размеров пружины.

Если \(x\) — смещение конца пружины вдоль выбранной оси от положения при естественной длине, проекция силы, с которой пружина действует на прикреплённое тело, равна:

\[ F_x=-kx. \]

Знак минус показывает, что сила направлена противоположно смещению. Он не означает, что модуль силы отрицательный.

Закон Гука имеет границы применимости. Пропорциональность силы и деформации выполняется в области линейного упругого поведения. При большой нагрузке зависимость может перестать быть линейной, а затем деформация может стать пластической. График модуля силы от величины деформации в области действия закона Гука — прямая через начало координат; её наклон определяется жёсткостью.

Пример: растяжение пружины

Пружина жёсткостью \(250\ \text{Н/м}\) растянута на \(4\ \text{см}\). Найдём модуль силы упругости.

Сначала переведём деформацию в метры:

\[ \Delta l=4\ \text{см}=0{,}04\ \text{м}. \]

Тогда:

\[ F_{\text{упр}}=250\cdot0{,}04=10\ \text{Н}. \]

Если нужно найти жёсткость или деформацию, используем:

\[ k=\frac{F_{\text{упр}}}{\Delta l},\qquad \Delta l=\frac{F_{\text{упр}}}{k}. \]

Сила тяжести, реакция опоры и вес

Вблизи поверхности Земли сила тяжести действует на тело со стороны Земли и имеет модуль \(F_{\text{тяж}}=mg\). Она направлена приблизительно вертикально вниз.

Вес тела — сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Вес обозначают \(P\) и измеряют в ньютонах. Масса измеряется в килограммах и характеризует инертность тела.

Сила	На что действует	Со стороны чего
Сила тяжести	На тело	Земли
Реакция опоры	На тело	Опоры
Вес тела	На опору или подвес	Тела

Например, для книги на горизонтальном столе сила тяжести и реакция опоры приложены к книге. Вес книги приложен к столу. Поэтому вес и силу тяжести нельзя считать одной силой, даже когда их модули равны.

Сила, с которой книга давит на стол, и сила, с которой стол действует на книгу, составляют пару сил взаимодействия по третьему закону Ньютона. Их модули равны, направления противоположны, но приложены они к разным телам.

Если тело покоится на горизонтальной опоре или движется вместе с ней равномерно и прямолинейно, а других вертикальных сил нет, то:

\[ N-mg=0,\qquad P=N=mg. \]

Для неподвижного груза на вертикальной пружине при тех же условиях \(k\Delta l=mg\). Динамометр в этом случае показывает силу натяжения, равную по модулю весу груза.

Вес при движении с ускорением

Рассмотрим человека на горизонтальных весах в лифте. Контакт с весами сохраняется; на человека действуют сила тяжести и реакция опоры. Выберем ось вверх. По второму закону Ньютона:

\[ N-mg=ma_y. \]

Модуль веса равен модулю реакции опоры:

\[ P=N=m(g+a_y). \]

Если ускорение направлено вверх и его модуль равен \(a\), то:

\[ P=m(g+a). \]

Вес становится больше обычного. Такое состояние называют перегрузкой. Если ускорение направлено вниз, при \(0\leq a<g\):

\[ P=m(g-a). \]

Вес уменьшается. Здесь важно направление ускорения, а не скорости. Лифт, движущийся вниз и тормозящий, имеет ускорение вверх, поэтому вес увеличивается. При движении вверх с торможением вес уменьшается.

Пример: показание весов в лифте

Человек массой \(60\ \text{кг}\) находится в лифте с ускорением \(2\ \text{м/с}^2\), направленным вверх. Примем \(g=10\ \text{м/с}^2\).

\[ P=60(10+2)=720\ \text{Н}. \]

При отсутствии ускорения его вес был бы \(600\ \text{Н}\). Масса человека остаётся \(60\ \text{кг}\); изменяется сила давления на весы. Весы с обычной шкалой в килограммах фактически измеряют силу и преобразуют её в показание массы по принятому значению \(g\).

Невесомость

Невесомость — состояние, при котором тело не действует на опору или подвес вследствие силы тяжести. При свободном падении тела и опоры с одинаковым ускорением \(g\):

\[ P=m(g-g)=0. \]

Сила тяжести при этом продолжает действовать. Космонавты на орбите находятся в невесомости потому, что корабль и находящиеся в нём тела совместно свободно движутся под действием гравитации. Масса тел сохраняется.

Формулу для веса в лифте применяют при указанных условиях контакта и действующих сил. Если расчёт для обычной опоры снизу дал отрицательное значение \(N\), это означает, что модель сохранённого контакта неприменима: опора не может тянуть тело вниз.

Главное

Сила упругости связана с деформацией тела. В области действия закона Гука её модуль равен произведению жёсткости и величины деформации. Вес — действие тела на опору или подвес; сила тяжести — действие Земли на тело. При ускорении вес может изменяться, а при свободном падении исчезать, хотя сила тяжести и масса сохраняются.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

В расчётных задачах прими \(g=10\ \text{м/с}^2\). Пружины работают в области действия закона Гука; их массой пренебрегай. В задачах о лифте человек сохраняет контакт с горизонтальными весами, другие вертикальные силы отсутствуют.

Чем упругая деформация отличается от пластической? Приведи примеры.
Почему сила упругости возникает даже у стола, прогиб которого незаметен?
Пружина жёсткостью \(400\ \text{Н/м}\) растянута на \(3\ \text{см}\). Найди модуль силы упругости.
Сила \(6\ \text{Н}\) растягивает пружину на \(2\ \text{см}\). Определи жёсткость и деформацию этой пружины под действием силы \(9\ \text{Н}\).
Груз массой \(300\ \text{г}\) неподвижно висит на вертикальной пружине жёсткостью \(150\ \text{Н/м}\). Найди её удлинение.
Книга лежит на столе. Назови тела, к которым приложены сила тяжести, реакция опоры и вес книги. Какие две силы составляют пару по третьему закону Ньютона?
Человек массой \(70\ \text{кг}\) находится в лифте с ускорением \(1{,}5\ \text{м/с}^2\), направленным вниз. Найди его вес.
Лифт движется вверх и тормозит. Сравни вес пассажира с его весом при равномерном движении и объясни вывод.
На тело массой \(2\ \text{кг}\) при свободном падении действует сила тяжести. Найди её модуль и вес тела. Объясни, почему это разные величины.
Две пружины растягивают на одинаковую величину. Жёсткость первой в три раза больше жёсткости второй. Сравни силы упругости, затем сравни удлинения при одинаковых силах.
Почему утверждение «в невесомости на тело не действует сила тяжести» неверно?

Домашнее задание по тематическому плану: §34–35.