Принцип относительности Галилея. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона

Пассажир спокойно сидит в поезде, а относительно платформы движется. Если поезд идёт равномерно по прямой без тряски, пассажир может налить воду или подбросить мяч так же, как в неподвижном вагоне. При торможении поведение предметов меняется. Чтобы объяснить разницу, нужно определить, какие системы отсчёта являются инерциальными.

Система отсчёта и относительность движения

Система отсчёта включает тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы. Покой и движение всегда описывают относительно выбранной системы. Утверждение «пассажир неподвижен» неполно, пока не указано, относительно чего.

Координаты, перемещение и скорость одного тела могут различаться в разных системах. Это не противоречие: наблюдатели используют разные тела отсчёта.

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если действия других тел на него отсутствуют или скомпенсированы.

Такие системы называют инерциальными системами отсчёта (ИСО). При компенсации внешних сил их векторная сумма равна нулю:

\[\sum\vec F=\vec 0\quad\Rightarrow\quad\vec v=\text{const},\qquad\vec a=\vec 0.\]

Покой — частный случай: \(\vec v=\vec 0\). Постоянство вектора скорости означает постоянство и её модуля, и направления. При движении по окружности модуль скорости может быть постоянным, но направление меняется, поэтому такое движение не соответствует отсутствию ускорения.

Инерция — явление сохранения скорости при отсутствии или компенсации воздействий. Инерцию следует отличать от инертности — свойства тела сопротивляться изменению скорости, мерой которого служит масса.

Для поддержания равномерного прямолинейного движения сила не требуется. Двигатель автомобиля работает на ровной дороге потому, что тяга компенсирует сопротивление воздуха и качению. Если сопротивление исчезло бы, автомобиль мог бы сохранять скорость без тяги.

На лежащую на столе книгу действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Их сумма равна нулю, хотя каждая сила ненулевая. Силы нужно складывать как векторы, учитывая направления.

Какие системы можно считать инерциальными

Если система движется относительно ИСО равномерно и прямолинейно без вращения, она тоже является инерциальной. Ускоряющаяся или вращающаяся система в общем случае неинерциальна.

Система	Оценка для обычной учебной задачи
Земля, школьный кабинет	Приближённо инерциальная для небольших расстояний и времён
Поезд, движущийся относительно Земли равномерно и прямо	Приближённо инерциальная при тех же допущениях
Тормозящий автобус	Неинерциальная
Вращающаяся карусель	Неинерциальная

Земля вращается и движется вокруг Солнца, поэтому связанная с ней система не является строго инерциальной. В простых школьных опытах соответствующими эффектами обычно можно пренебречь. Для точных измерений и больших масштабов эта модель требует уточнения.

Когда автобус тормозит, пассажир относительно дороги стремится сохранить прежнюю скорость и смещается вперёд относительно автобуса. В системе дороги для этого не требуется особая сила, толкающая пассажира вперёд: автобус уменьшает скорость, а пассажир по инерции продолжает движение. Позднее его скорость меняют реальные силы со стороны сиденья, ремня и других опор.

Принцип относительности Галилея

Во всех инерциальных системах отсчёта законы механики имеют одинаковый вид. Это принцип относительности Галилея.

Механическими опытами внутри закрытого помещения нельзя отличить его покой от равномерного прямолинейного движения, если помещение является частью инерциальной системы. Можно обнаружить ускорение или вращение, а равномерное движение — только относительно внешнего объекта.

Одинаковые законы не означают одинаковые значения скоростей: скорость мяча для пассажира и для человека на платформе может различаться. Но оба применяют одни и те же законы механики.

Преобразования Галилея

Пусть система \(K'\) движется относительно \(K\) со скоростью \(V\) вдоль оси \(x\). Оси параллельны, а начала координат совпали при \(t=0\). В классической механике:

\[x=x'+Vt,\qquad y=y',\qquad z=z',\qquad t=t'.\]

Отсюда правило сложения скоростей:

\[\vec v=\vec v'+\vec V.\]

В одном измерении используют проекции с учётом знаков:

\[v_x=v'_x+V_x.\]

Если \(\vec V\) постоянна, то ускорения одинаковы:

\[\vec a=\vec a'.\]

Поэтому тело без ускорения в одной ИСО не имеет ускорения и в другой. Преобразования Галилея применимы в классической механике при скоростях, намного меньших скорости света; для скоростей, близких к скорости света, они недостаточны.

Пример 1. Человек в поезде

Поезд движется со скоростью 20 м/с. Пассажир идёт по вагону со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Направим ось вдоль движения поезда.

Если пассажир идёт вперёд:

\[v_x=20+1{,}5=21{,}5\ \text{м/с}.\]

Если он идёт к задней части вагона:

\[v_x=20-1{,}5=18{,}5\ \text{м/с}.\]

В обоих случаях относительно платформы пассажир движется в сторону движения поезда. Вычитать скорости без указания направлений нельзя.

Пример 2. Мяч в равномерно движущемся вагоне

Пассажир подбрасывает мяч вертикально вверх. Сопротивлением воздуха и тряской пренебрежём. В системе вагона мяч движется по вертикали и возвращается к месту броска. В системе платформы он имеет также горизонтальную скорость поезда и движется по параболе. Мяч и пассажир за время полёта перемещаются горизонтально одинаково, поэтому мяч возвращается к пассажиру.

Отличие траекторий согласуется с одинаковыми законами: в обеих системах вертикальное ускорение мяча направлено вниз и приблизительно равно \(g\).

Пример 3. Движение катера

Катер движется относительно воды со скоростью 4 м/с поперёк течения. Скорость течения относительно берега — 3 м/с. Эти скорости взаимно перпендикулярны. Тогда скорость катера относительно берега:

\[v=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \text{м/с}.\]

Нельзя получить 7 м/с простым сложением модулей: складывать нужно векторы.

Что важно запомнить

Первый закон Ньютона определяет существование инерциальных систем отсчёта. В ИСО при нулевой сумме сил скорость тела постоянна. Все ИСО равноправны для законов механики, но координаты и скорости в них могут различаться. Для равномерно движущихся систем в классической механике \(\vec v=\vec v'+\vec V\), а ускорения одинаковы.

Проверь себя

Какие три составляющие входят в систему отсчёта?
Почему на покоящееся тело могут действовать ненулевые силы?
Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Можно ли считать сумму сил нулевой в ИСО?
Автомобиль движется относительно дороги равномерно и прямо со скоростью 15 м/с. Пассажир неподвижен относительно автомобиля. Найди его скорость относительно дороги.
Поезд идёт со скоростью 12 м/с. Человек идёт по вагону назад со скоростью 2 м/с. Найди его скорость относительно платформы.
Лодка движется относительно воды поперёк течения со скоростью 6 м/с, течение имеет скорость 8 м/с. Найди модуль скорости лодки относительно берега.
Можно ли считать систему тормозящего поезда инерциальной? Объясни поведение свободного предмета.
Два наблюдателя в разных ИСО получили разные скорости одного тела. Противоречит ли это принципу Галилея?
Система \(K'\) движется вдоль оси \(x\) со скоростью 5 м/с. Через 4 с тело имеет координату \(x'=3\) м. Начала координат совпадали при нуле времени. Найди \(x\).
Почему шар в равномерно движущемся вагоне возвращается к месту вертикального броска?

Ответы для самопроверки

1. Тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы.

Действия сил могут компенсироваться: например, сила тяжести книги и реакция горизонтального стола направлены противоположно и равны по модулю.
Нет: направление скорости меняется, ускорение ненулевое, поэтому сумма сил также ненулевая.
15 м/с в направлении движения автомобиля.
\(v_x=12-2=10\ \text{м/с}\) в направлении движения поезда.
\(v=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \text{м/с}\).
Нет. В системе дороги предмет стремится сохранять скорость, пока реальные силы её не изменят; поезд тормозит, поэтому предмет перемещается относительно него.
Нет. Принцип утверждает одинаковый вид законов механики, а не одинаковые значения скоростей.
\(x=x'+Vt=3+5\cdot4=23\ \text{м}\).
Шар сохраняет горизонтальную скорость вагона относительно платформы. За время полёта шар и вагон проходят одинаковое горизонтальное расстояние при указанных допущениях.

Домашнее задание по тематическому плану: § 20, 22, 26.