Поступательное и вращательное движение абсолютно твёрдого тела. Условия равновесия
Зачем нужна модель твёрдого тела
Модель материальной точки удобна, пока размеры тела и его поворот несущественны. Но при открывании двери важно, где приложена сила: возле петель или возле ручки. Одного описания движения точки здесь недостаточно.
Абсолютно твёрдое тело — модель тела, расстояния между любыми двумя точками которого остаются неизменными. Она позволяет изучать перемещение и поворот без рассмотрения деформации.
Реальные тела деформируются. Модель применима, когда эти изменения формы и размеров малы для решаемой задачи: например, при расчёте равновесия достаточно жёсткой балки.
Поступательное движение
При поступательном движении любой отрезок, соединяющий две точки тела, остаётся параллельным своему первоначальному положению. Ориентация тела не меняется; все его точки за одинаковый промежуток времени получают одинаковые перемещения.
Поэтому в каждый момент скорости и ускорения любых точек тела одинаковы как векторы:
Поступательное движение бывает и криволинейным. Например, кабина колеса обозрения, сохраняющая вертикальное положение, движется поступательно, хотя её точки описывают окружности. Важно отсутствие поворота кабины, а не прямолинейность её траектории.
Вращение вокруг неподвижной оси
При вращении вокруг неподвижной оси точки на оси остаются неподвижными, остальные движутся по окружностям с центрами на оси. Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси; их радиусы равны расстояниям точек до неё.
Все точки тела за одно время поворачиваются на одинаковый угол. Их угловая скорость \(\omega\) одинакова. При равномерном вращении \(\omega=\Delta\varphi/\Delta t\), где угол измеряется в радианах.
Линейная скорость зависит от расстояния \(r\) до оси:
У края вращающегося диска скорость больше, чем возле центра; на оси она равна нулю.
Линия действия силы
Чтобы описать действие силы на протяжённое тело, учитывают её модуль, направление и точку приложения. Линия действия силы — прямая, проходящая через точку приложения вдоль вектора силы.
Одинаковая сила может по-разному поворачивать дверь: это зависит от положения её линии действия относительно петель. Усилие, направленное прямо к оси петель, дверь не поворачивает.
В задачах равновесия абсолютно твёрдого тела силу можно перенести вдоль её линии действия без изменения внешнего механического действия. Перенос на другую параллельную прямую обычно изменяет вращательное действие.
Плечо и модуль момента силы
В плоской задаче выбирают точку \(O\); соответствующая ось проходит через неё перпендикулярно плоскости сил. Плечо силы \(d\) — кратчайшее расстояние от \(O\) до линии действия силы, то есть длина перпендикуляра к этой прямой.
Модуль момента силы относительно \(O\):
Здесь \(l\) — расстояние от \(O\) до точки приложения, \(\alpha\) — угол между направлением от \(O\) к этой точке и силой. Следовательно, \(d=l\sin\alpha\). Плечо измеряют в метрах, момент — в \(\text{Н}\cdot\text{м}\).
Знак момента и нулевое плечо
В плоской задаче момент записывают со знаком. Договоримся считать положительным вращательное действие против часовой стрелки, отрицательным — по часовой. Тогда каждый момент равен \(+Fd\) или \(-Fd\); выбранное правило сохраняют во всём решении.
Если линия действия проходит через \(O\), плечо равно нулю:
Сама сила при этом может быть большой. Нулевой момент означает отсутствие её вращательного действия относительно выбранной точки, а не отсутствие силы. Например, сила, направленная вдоль рукоятки к оси, имеет нулевой момент относительно этой оси.
Условия равновесия в плоской задаче
Статика изучает равновесие тел. Для покоя твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта должны выполняться два требования: внешние силы уравновешены и их суммарный момент равен нулю.
Если силы лежат в одной плоскости, удобно записать три уравнения:
Первые два проверяют баланс сил по выбранным осям, третье — баланс вращательных действий. При выполнении баланса сил точку \(O\) можно выбрать произвольно. Проверять только сумму сил недостаточно: две противоположные силы на разных параллельных прямых могут поворачивать тело.
Отсутствие ускорения и покой
Равенство суммы сил нулю означает отсутствие ускорения центра масс, но само по себе не означает покоя. Тело может поступательно двигаться с постоянной скоростью. Для покоя важны также начальные условия.
В рассматриваемых задачах статики тело первоначально покоится, а условия равновесия сохраняются. Тогда оно остаётся неподвижным. Если движение уже есть, его нужно рассматривать отдельно.
У вращающегося диска даже при постоянной угловой скорости точки вне оси имеют центростремительное ускорение \(a=\omega^2r\). Постоянство угловой скорости не означает отсутствия ускорения каждой точки тела.
Тело на неподвижной оси
Если тело закреплено на неподвижной оси, крепление препятствует его свободному перемещению и действует на него силой реакции. Эту внешнюю силу обязательно учитывают в балансе сил.
В плоской модели идеального шарнира без трения реакция приложена в точке оси \(O\), поэтому её момент относительно \(O\) равен нулю. Выбор этой точки упрощает расчёт:
Так проверяют отсутствие начала вращения первоначально неподвижного тела. При наличии трения в оси или двигателя их моменты тоже учитывают. Для определения реакции затем используют уравнения баланса сил.
Правило рычага
Рычаг — твёрдое тело, способное поворачиваться вокруг опоры. Если два ненулевых момента направлены противоположно и других моментов нет, условие равновесия принимает вид:
Меньшая сила уравновешивает большую, если имеет большее плечо. Поэтому длинная рукоятка облегчает поворот ключа.
В формулу входят именно перпендикулярные расстояния до линий действия сил. Если рычаг имеет существенный вес, его момент тоже включают в сумму: простого равенства двух моментов тогда может оказаться недостаточно.
Центр тяжести и вес балки
В однородном поле тяжести силы тяжести всех частей тела можно заменить одной силой \(mg\), приложенной в центре тяжести. В таком поле центр тяжести совпадает с центром масс.
У прямой однородной балки постоянного сечения центр тяжести находится посередине. Поэтому при расчёте её равновесия силу тяжести балки прикладывают в середине длины.
Нагрузку и собственную массу балки учитывают отдельно. В разговоре говорят «вес балки», но на схеме сил, действующих на саму балку, изображают её силу тяжести. Весом называют силу действия балки на опору или подвес.
Как составлять уравнения
Сначала выделите рассматриваемое тело и перечислите все внешние силы, включая тяжесть и реакции креплений. Силы взаимодействия между его частями на эту схему не добавляют.
Выберите направления осей и положительный знак момента. Затем найдите линии действия сил и перпендикулярные расстояния до них. Для моментов удобно выбрать точку, через которую проходит неизвестная реакция: её момент исчезнет из уравнения.
Запишите баланс сил и моментов, решите уравнения и проверьте единицы. Если направление неизвестной реакции выбрано заранее, отрицательный результат означает противоположное направление, а не отрицательный модуль силы.
Пример: сила под углом
К концу горизонтальной рукоятки длиной \(l=0{,}40\ \text{м}\) приложили силу \(F=30\ \text{Н}\) под углом \(\alpha=30^\circ\) к направлению от оси к концу рукоятки. Сила направлена наклонно вверх, рукоятка расположена справа от оси.
Плечо меньше длины рукоятки:
Момент направлен против часовой стрелки:
При перпендикулярном действии той же силы плечо стало бы равным всей длине рукоятки, а модуль момента увеличился бы вдвое.
Пример: равновесие рычага
Невесомый горизонтальный рычаг закреплён на идеальном шарнире. Слева на расстоянии \(d_1=0{,}20\ \text{м}\) от оси действует вниз сила \(F_1=120\ \text{Н}\). Справа вниз приложена сила \(F_2\) с плечом \(d_2=0{,}60\ \text{м}\). Найдём её для равновесия.
Моменты имеют разные знаки:
Плечо справа втрое больше, поэтому сила втрое меньше. Для баланса вертикальных сил шарнир действует вверх с реакцией \(R=120+40=160\ \text{Н}\). Реакция не входит в уравнение моментов относительно шарнира, но удерживает рычаг от перемещения.
Пример: балка на двух опорах
Однородная горизонтальная балка длиной \(4\ \text{м}\) и массой \(20\ \text{кг}\) лежит концами на опорах \(A\) и \(B\). Неподвижный груз массой \(40\ \text{кг}\) находится в \(1\ \text{м}\) от \(A\). При \(g=10\ \text{м/с}^2\) тяжесть балки равна \(200\ \text{Н}\), давление груза на балку вниз — \(P=mg=400\ \text{Н}\).
Вертикальные реакции направлены вверх. Моменты относительно \(A\):
Из баланса сил:
Проверка относительно \(B\): \(400\cdot4=200\cdot2+400\cdot3\). Ближайшая к грузу опора несёт большую нагрузку.
Что нужно запомнить
При поступательном движении ориентация твёрдого тела сохраняется, а скорости и ускорения его точек одинаковы. При вращении вокруг неподвижной оси одинакова угловая скорость, но линейные скорости зависят от расстояния до оси.
Вращательное действие силы определяет момент \(|M_O|=Fd\). Плечо измеряют до линии действия силы, а не обязательно до точки приложения.
Для равновесия первоначально неподвижного тела в плоской задаче нужны баланс всех внешних сил и баланс их моментов. Реакции опор и тяжесть самого тела нельзя пропускать.
Домашнее задание: § 48–52.
Вопросы для самопроверки
- Почему поступательное движение может быть криволинейным? Как при этом соотносятся скорости разных точек тела в один момент?
- Что одинаково у всех точек тела при вращении вокруг неподвижной оси? Почему линейные скорости могут различаться?
- Как построить плечо силы? При каком направлении ненулевой силы её момент относительно выбранной оси равен нулю?
- Почему одного баланса сил недостаточно для равновесия твёрдого тела? Зачем уточнять, что тело первоначально покоится?
- Где приложить силу тяжести однородной балки и почему при расчёте реакций её нельзя забывать?
Самостоятельная работа
- Диск равномерно вращается с угловой скоростью \(5\ \text{рад/с}\). Найдите скорости точек в \(0{,}08\ \text{м}\) и \(0{,}24\ \text{м}\) от оси.
- К концу рукоятки длиной \(0{,}50\ \text{м}\) приложена сила \(24\ \text{Н}\) под углом \(30^\circ\) к рукоятке. Найдите плечо и модуль момента относительно оси на другом конце.
- На невесомый рычаг действуют вниз силы по разные стороны опоры. Сила \(150\ \text{Н}\) имеет плечо \(0{,}16\ \text{м}\). Найдите уравновешивающую силу с плечом \(0{,}60\ \text{м}\).
- Однородная горизонтальная балка длиной \(6\ \text{м}\) и массой \(30\ \text{кг}\) опирается концами на опоры. Груз \(60\ \text{кг}\) лежит в \(2\ \text{м}\) от левого конца. Найдите реакции опор при \(g=10\ \text{м/с}^2\).