Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Первая космическая скорость

Падающий мяч и спутник Земли движутся по разным траекториям, но в обоих случаях существенную роль играет притяжение к Земле. Мяч обычно быстро достигает поверхности. Спутник при подходящей скорости непрерывно падает к Земле, но его траектория огибает планету. Объяснить это позволяет закон всемирного тяготения вместе с законами движения.

Закон всемирного тяготения

Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Для двух материальных точек величина силы гравитационного притяжения равна:

\[ F = G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]

Здесь \(m_1\) и \(m_2\) — массы тел, \(r\) — расстояние между ними, а \(G\) — гравитационная постоянная:

\[ G \approx 6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \]

Силы притяжения направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки, навстречу друг другу. По третьему закону Ньютона силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Они приложены к разным телам, поэтому не компенсируют друг друга в уравнении движения одного тела.

Из формулы следует:

увеличение одной массы в два раза при остальных неизменных условиях увеличивает силу в два раза;
увеличение обеих масс в два раза увеличивает силу в четыре раза;
увеличение расстояния в два раза уменьшает силу в четыре раза.

Очень малое значение \(G\) объясняет, почему притяжение двух обычных предметов трудно заметить. Большая масса Земли делает её притяжение существенным для окружающих нас тел.

Какое расстояние подставлять

Формула непосредственно относится к материальным точкам. Её можно применять к протяжённым телам, когда их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними.

Особый случай — тела со сферически симметричным распределением массы: при отсутствии перекрытия их притяжение рассчитывается так, как если бы массы были сосредоточены в центрах. Землю в простых задачах приближённо считают таким телом, пренебрегая её вращением, сплюснутостью и неоднородностью.

Для небольшого тела на высоте \(h\) над поверхностью Земли расстояние до центра планеты равно:

\[ r = R+h, \]

где \(R\) — радиус Земли. Нельзя вместо \(r\) подставлять одну высоту \(h\): у поверхности высота равна нулю, но расстояние до центра Земли не равно нулю.

Сила тяжести и ускорение свободного падения

В принятой модели сила тяжести — сила притяжения тела к Земле. Для тела массой \(m\):

\[ F_{\text{тяж}} = G\frac{Mm}{(R+h)^2}, \]

где \(M\) — масса Земли. Силу тяжести также записывают как \(F_{\text{тяж}}=mg\). Сравнение двух выражений даёт:

\[ g(h) = G\frac{M}{(R+h)^2}. \]

У поверхности Земли:

\[ g_0 = G\frac{M}{R^2} \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2. \]

В этой модели ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. Но сила тяжести зависит: чем больше масса тела, тем больше сила притяжения к Земле. В воздухе движение может дополнительно изменяться из-за сопротивления, поэтому реальный опыт с лёгким листом бумаги и металлическим шариком требует отдельного учёта воздуха.

При увеличении высоты ускорение свободного падения уменьшается:

\[ \frac{g(h)}{g_0} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2. \]

При небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте изменение невелико. В школьных задачах вблизи поверхности поэтому часто принимают \(g\) постоянным.

Сила тяжести и вес — разные величины. Сила тяжести действует на тело со стороны Земли. Вес характеризует действие тела на опору или подвес. Во время свободного падения тело может не действовать на опору, хотя Земля продолжает притягивать его. Подробнее вес будет рассмотрен в следующей теме.

Почему спутник не падает прямо на Землю

Для движения по окружности нужно ускорение, направленное к её центру:

\[ a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{r}. \]

На спутник действует притяжение Земли. При подходящей скорости это притяжение непрерывно изменяет направление скорости и создаёт необходимое центростремительное ускорение. Слова «центростремительная сила» в данном случае описывают роль силы тяготения, а не дополнительную силу.

Рассмотрим круговую орбиту. Пренебрежём сопротивлением воздуха, притяжением других небесных тел и работой двигателей. Запишем второй закон Ньютона для спутника массой \(m\):

\[ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}. \]

Масса спутника сокращается. Получаем скорость движения по круговой орбите:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

На орбите высотой \(h\):

\[ v(h) = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}. \]

Скорость для круговой орбиты направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу в данной точке. Одной подходящей величины скорости недостаточно: важно также её направление. При других начальных условиях орбита может оказаться некруговой или пересечь поверхность планеты.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость — скорость, необходимая для движения по круговой орбите непосредственно у поверхности небесного тела в идеализированной модели без атмосферы.

Для Земли при \(r=R\):

\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{g_0R}. \]

Возьмём \(g_0\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\) и \(R\approx6{,}37\cdot10^6\ \text{м}\):

\[ v_1 \approx \sqrt{9{,}8\cdot6{,}37\cdot10^6}\ \text{м/с} \approx 7{,}9\cdot10^3\ \text{м/с} = 7{,}9\ \text{км/с}. \]

У самой поверхности реальный спутник встретил бы атмосферу и препятствия. Поэтому это расчётный ориентир; действующие спутники движутся выше. На более высокой круговой орбите требуемая скорость меньше, но это не означает, что вывести спутник туда проще: при запуске нужно поднять его и сообщить необходимую скорость.

Невесомость на орбите не означает исчезновения притяжения. Спутник и находящиеся в нём предметы свободно падают вместе, и предметам не требуется обычная опора, удерживающая их от падения.

Разобранные примеры

Изменение силы при удалении

Расстояние между центрами двух сферически симметричных тел увеличили в три раза, сохранив массы. Тогда:

\[ F' = G\frac{m_1m_2}{(3r)^2} = \frac{F}{9}. \]

Сила уменьшилась в девять раз. Важен квадрат расстояния, а не само расстояние.

Высота, равная радиусу Земли

Тело находится на высоте \(h=R\). Его расстояние до центра Земли равно \(2R\). Следовательно:

\[ g(R) = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{g_0}{4}. \]

Для круговой орбиты на этой высоте скорость равна:

\[ v(R) = \sqrt{\frac{GM}{2R}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}. \]

Ускорение и скорость изменяются по разным зависимостям. Поэтому нельзя уменьшать орбитальную скорость в четыре раза вслед за ускорением.

Главное

Сила тяготения пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Для тела около Земли расстояние считают от её центра. Ускорение свободного падения уменьшается с высотой. Круговое движение спутника обеспечивается притяжением Земли; требуемая скорость равна \(\sqrt{GM/r}\). Первая космическая скорость Земли в идеальной модели составляет примерно \(7{,}9\ \text{км/с}\).

Вопросы для самопроверки

Почему в законе всемирного тяготения расстояние до тела у поверхности Земли не равно нулю?
Как могут быть равны силы притяжения Земли и яблока, если изменения их движения так различаются?
Почему сила тяжести зависит от массы тела, а ускорение свободного падения в данной модели не зависит?
Какая сила создаёт центростремительное ускорение спутника?
Почему для круговой орбиты важно направление начальной скорости?
Почему невесомость в спутнике не означает отсутствия тяготения?

Упражнения

Одну массу увеличили в два раза, а расстояние между телами — в четыре раза. Как изменилась сила их притяжения?
Найдите силу тяжести, действующую на тело массой \(5\ \text{кг}\) у поверхности Земли, приняв \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Выразите ускорение свободного падения через \(g_0\) на высоте \(h=2R\). Сначала определите расстояние до центра Земли.
Спутники разных масс движутся по одной круговой орбите. Сравните их скорости в принятой модели и объясните ответ.
Для планеты заданы \(g_0=4\ \text{м/с}^2\) и \(R=3{,}6\cdot10^6\ \text{м}\). Рассчитайте первую космическую скорость и выразите её в километрах в секунду.
Радиус круговой орбиты увеличили в четыре раза. Как изменилась орбитальная скорость?
Ученик утверждает, что на спутник действуют две компенсирующиеся силы: тяготения и центростремительная. Объясните ошибку и укажите направление ускорения спутника.

Домашнее задание: §27–33.