Свободные механические и гармонические колебания. Превращение энергии

Как возникают свободные колебания

Механические колебания — движения, при которых тело многократно отклоняется от положения равновесия в разные стороны.

Рассмотрим груз на горизонтальной пружине. Его можно отвести и отпустить или сообщить ему начальную скорость. После этого груз движется под действием сил самой колебательной системы, без периодического внешнего воздействия. Такие колебания называют свободными.

В реальности трение и сопротивление воздуха уменьшают амплитуду: свободные колебания затухают. Сначала изучим идеальную модель без потерь энергии; при слабом сопротивлении она приближённо описывает движение за несколько периодов.

Устойчивое равновесие и возвращающая сила

В положении равновесия результирующая сила равна нулю. Равновесие устойчиво, если при малом отклонении возникает сила, направленная обратно к нему.

На горизонтальной поверхности без трения сила тяжести и реакция опоры уравновешены. Вдоль движения на груз действует сила упругости:

\[ F_x=-kx. \]

Здесь \(k>0\) — жёсткость пружины, \(x\) — смещение от равновесия. Минус показывает противоположные направления силы и смещения. Пружина возвращает груз к равновесию, но из-за инерции он проходит это положение и отклоняется в другую сторону.

Координата и амплитуда

Начало координат поместим в положение равновесия, ось направим вдоль движения. Координата \(x\) показывает смещение: справа она положительна, слева отрицательна.

Амплитуда \(A\) — максимальный модуль смещения:

\[ A\geq0,\qquad -A\leq x\leq A. \]

Амплитуду и координату измеряют в метрах. При ненулевых колебаниях \(A>0\); случай \(A=0\) соответствует покою в равновесии.

Амплитуда — расстояние от равновесия до крайнего положения. Расстояние между крайними положениями равно \(2A\), путь за полный период — \(4A\).

Период, частота и циклическая частота

Период \(T\) — время одного полного колебания, после которого повторяются положение и направление движения. Частота \(\nu\) — число колебаний за единицу времени:

\[ T=\frac{\Delta t}{N},\qquad \nu=\frac{N}{\Delta t}=\frac1T. \]

За период фаза изменяется на \(2\pi\) радиан. Скорость её изменения называют циклической частотой:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu. \]

Период измеряют в секундах, частоту — в герцах: \(1\ \text{Гц}=1\ \text{с}^{-1}\). Циклическую частоту указывают в \(\text{рад/с}\). Она описывает изменение фазы, а частота — число полных циклов в секунду.

Уравнение гармонических колебаний

Колебания, при которых координата изменяется по закону синуса или косинуса, называют гармоническими:

\[ x=A\cos(\omega t+\varphi_0). \]

Здесь \(t\) — время от выбранного начала отсчёта, \(\varphi_0\) — начальная фаза. В идеальной модели \(A\) и \(\omega\) постоянны.

Для груза постоянной массы условие \(F_x=-kx\) при отсутствии других сил вдоль движения приводит к гармоническим колебаниям. Если закон возвращающей силы иной, колебания могут быть свободными, но не гармоническими. Отсутствие потерь само по себе ещё не задаёт форму колебаний.

Фаза и начальные условия

Фаза \(\varphi=\omega t+\varphi_0\) определяет состояние колебаний внутри цикла. Её измеряют в радианах. Значения, отличающиеся на \(2\pi\), соответствуют одинаковым состояниям.

При \(t=0\):

\[ x_0=A\cos\varphi_0,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi_0. \]

Начальная фаза зависит и от положения, и от направления движения. По одной координате её обычно нельзя определить однозначно.

Если груз отпущен без начальной скорости из положения \(x_0=A\), удобно выбрать \(\varphi_0=0\). Если движение начинается в равновесии, амплитуда может быть ненулевой: грузу сообщена начальная скорость.

Как изменяется скорость

Скорость показывает, как быстро и в какую сторону изменяется координата. Для гармонических колебаний:

\[ v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0),\qquad v_{\max}=A\omega. \]

Здесь \(v\) — проекция скорости, а \(v_{\max}\) — её максимальный модуль.

В крайних положениях скорость равна нулю: тело меняет направление движения. В равновесии модуль скорости максимален, и груз проходит его по инерции.

Скорость изменяется гармонически с той же частотой. В косинусной записи её фаза опережает фазу координаты на \(\pi/2\): скорость равна нулю там, где модуль координаты максимален.

Ускорение направлено к равновесию

Из второго закона Ньютона и закона Гука:

\[ a=\frac{F_x}{m}=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x. \]

Ускорение противоположно смещению, а его максимальный модуль равен \(a_{\max}=\omega^2A\). Координата и ускорение находятся в противофазе: сдвиг фаз равен \(\pi\).

Когда груз удаляется от равновесия, ускорение направлено против скорости и замедляет его. После остановки в крайней точке оно разгоняет груз обратно. При прохождении равновесия ускорение равно нулю и меняет знак; скорость в этот момент ненулевая.

Четыре состояния за период

Пусть \(\varphi_0=0\): груз начинает движение из правого крайнего положения. Проследим координату, скорость и ускорение.

Время	Координата \(x\)	Скорость \(v\)	Ускорение \(a\)
\(0\)	\(A\)	\(0\)	\(-\omega^2A\)
\(T/4\)	\(0\)	\(-A\omega\)	\(0\)
\(T/2\)	\(-A\)	\(0\)	\(+\omega^2A\)
\(3T/4\)	\(0\)	\(+A\omega\)	\(0\)

В момент \(T\) повторяется начальное состояние. Прохождения через равновесие разделены половиной периода, но направления скорости при них противоположны. Поэтому два соседних прохождения равновесия — ещё не полный цикл.

Период пружинного маятника

Для груза на пружине:

\[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. \]

Чем больше масса, тем медленнее колебания; чем жёстче пружина, тем они быстрее. В этой модели период не зависит от амплитуды.

Формулы предполагают пренебрежимо малую массу пружины, отсутствие трения и выполнение закона Гука на всём пути. При слишком большом растяжении реальная пружина может перестать подчиняться этому закону. Тогда период и форма движения могут отличаться от рассчитанных по гармонической модели.

Механическая энергия системы

Продолжим рассматривать горизонтальный груз на пружине без трения. Потенциальную энергию выберем равной нулю в равновесии, где пружина не деформирована. Высота груза постоянна.

\[ E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2},\qquad E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}. \]

Полная механическая энергия сохраняется:

\[ E=E_{\text{п}}+E_{\text{к}}=\frac{kA^2}{2}. \]

Энергию измеряют в джоулях. Она зависит от квадрата амплитуды: увеличение амплитуды вдвое увеличивает энергию вчетверо. Начальное отклонение или толчок передают системе запас энергии, за счёт которого происходят свободные колебания.

Как энергия переходит из одной формы в другую

В крайнем положении \(x=\pm A\) груз на мгновение останавливается:

\[ E_{\text{к}}=0,\qquad E_{\text{п}}=E. \]

При движении к равновесию пружина совершает положительную работу: потенциальная энергия уменьшается, кинетическая возрастает. В равновесии:

\[ E_{\text{п}}=0,\qquad E_{\text{к}}=E,\qquad |v|=v_{\max}. \]

При удалении от равновесия превращение идёт обратно. Одинаковым по модулю смещениям соответствуют одинаковые энергии, независимо от направления движения. При трении механическая энергия постепенно переходит во внутреннюю энергию, поэтому амплитуда свободных колебаний уменьшается.

Пример: читаем уравнение движения

Дано \(x=0{,}040\cos(5\pi t+\pi/3)\), где \(x\) выражен в метрах, \(t\) — в секундах. Сравним с общим уравнением:

\[ A=0{,}040\ \text{м},\quad \omega=5\pi\ \text{рад/с},\quad \varphi_0=\frac\pi3. \]

Найдём период и частоту:

\[ T=\frac{2\pi}{5\pi}=0{,}40\ \text{с},\qquad \nu=\frac1T=2{,}5\ \text{Гц}. \]

Начальное смещение:

\[ x_0=0{,}040\cos\frac\pi3=0{,}020\ \text{м}. \]

Поскольку \(\sin(\pi/3)>0\), начальная скорость отрицательна: груз находится справа от равновесия и движется к нему.

Пример: рассчитываем период

Груз массой \(m=0{,}20\ \text{кг}\) закреплён на горизонтальной пружине жёсткостью \(k=80\ \text{Н/м}\). Трением и массой пружины пренебрегаем.

\[ \omega=\sqrt{\frac{80}{0{,}20}}=20\ \text{рад/с}, \]

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}20}{80}}=0{,}10\pi\ \text{с}\approx0{,}314\ \text{с}. \]

Частота равна \(\nu=1/T\approx3{,}18\ \text{Гц}\).

Если массу увеличить в четыре раза при той же жёсткости, период увеличится в \(\sqrt4=2\) раза. Изменение амплитуды в пределах применимости закона Гука периода не изменит.

Пример: распределяем энергию

Пусть в предыдущем примере амплитуда \(A=0{,}050\ \text{м}\). Полная энергия:

\[ E=\frac{80\cdot0{,}050^2}{2}=0{,}10\ \text{Дж}. \]

При смещении \(x=0{,}030\ \text{м}\):

\[ E_{\text{п}}=\frac{80\cdot0{,}030^2}{2}=0{,}036\ \text{Дж}, \]

\[ E_{\text{к}}=0{,}10-0{,}036=0{,}064\ \text{Дж}. \]

Модуль скорости:

\[ |v|=\sqrt{\frac{2E_{\text{к}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}064}{0{,}20}}=0{,}80\ \text{м/с}. \]

Энергия определяет модуль скорости. Для определения её знака нужно знать, в какую сторону движется груз.

Что нужно запомнить

Свободные колебания возникают после начального воздействия. Возвращающая сила и инерция обеспечивают движение через положение устойчивого равновесия.

Идеальные гармонические колебания описывает закон \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\). Период задаёт время цикла, частота — число циклов в секунду, фаза — состояние внутри цикла.

Ускорение направлено к равновесию: \(a=-\omega^2x\). В равновесии максимальна скорость, в крайних положениях — модуль ускорения. Без потерь полная энергия постоянна, хотя кинетическая и потенциальная энергии изменяются.

Домашнее задание: §18, 22–24.

Вопросы для самопроверки

Как возбудить свободные колебания? Почему они могут происходить, если начальное смещение равно нулю?
Что означает знак минус в законах \(F_x=-kx\) и \(a=-\omega^2x\)? Как это связано с устойчивым равновесием?
Чем различаются период, частота и циклическая частота? В каких единицах их измеряют?
Почему одной начальной координаты обычно недостаточно для определения начальной фазы? Где груз меняет направление движения?
Как распределена энергия в равновесии и в крайних положениях? Почему у реального свободно колеблющегося груза амплитуда уменьшается?

Самостоятельная работа

Дано \(x=0{,}060\cos(4\pi t+\pi/2)\); координата — в метрах, время — в секундах. Найдите амплитуду, период, частоту, начальную координату и направление начальной скорости.
Груз массой \(0{,}50\ \text{кг}\) колеблется на пружине жёсткостью \(200\ \text{Н/м}\). Найдите период и циклическую частоту, пренебрегая потерями и массой пружины.
При \(\varphi_0=0\) и \(A>0\) определите координату и знаки скорости и ускорения в момент \(t=3T/8\). Объясните, приближается ли груз к равновесию.
Горизонтальный груз на пружине жёсткостью \(100\ \text{Н/м}\) колеблется без трения с амплитудой \(0{,}080\ \text{м}\). Найдите полную, потенциальную и кинетическую энергии при \(x=0{,}040\ \text{м}\). Нуль потенциальной энергии — в равновесии.