Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания и их механическая аналогия

Что колеблется в электрической цепи

Груз на пружине поочерёдно отклоняется в разные стороны от равновесия. В электрической цепи тоже возможен повторяющийся процесс: конденсатор заряжается то с одной, то с другой полярностью, а ток меняет направление.

Электромагнитные колебания — повторяющиеся изменения заряда, напряжения, силы тока, электрического и магнитного полей. Простейшая система, в которой они возникают, — колебательный контур: замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности.

Конденсатор и электрическая ёмкость

Конденсатор состоит из двух проводников — обкладок, разделённых диэлектриком. В рассматриваемом контуре заряды обкладок противоположны: если на одной заряд \(q\), на другой — \(-q\). Между ними существует электрическое поле, обладающее энергией.

Электрическая ёмкость \(C\) показывает, какой заряд приходится на единицу напряжения:

\[ C=\frac{q}{U},\qquad q=CU. \]

Здесь \(q\) — заряд выбранной обкладки, \(U\) — её потенциал относительно другой. Поэтому \(q\) и \(U\) имеют одинаковый знак. Ёмкость положительна и зависит от устройства конденсатора и диэлектрика.

Ёмкость измеряют в фарадах: \(1\ \text{Ф}=1\ \text{Кл/В}\). Часто используют микрофарады: \(1\ \text{мкФ}=10^{-6}\ \text{Ф}\). При одном напряжении конденсатор большей ёмкости имеет больший модуль заряда обкладок.

Заряды не проходят сквозь диэлектрик с одной обкладки на другую: они перераспределяются по проводам внешней цепи.

Катушка и самоиндукция

Катушка — проводник, обычно свёрнутый в витки. Ток в ней создаёт магнитное поле. Индуктивность \(L\) характеризует связь магнитного потока катушки с током и её противодействие изменению тока. Единица индуктивности — генри (Гн).

При изменении тока возникает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца она препятствует изменению тока: при нарастании сдерживает его рост, при ослаблении поддерживает прежнее направление.

При конечном напряжении ток через идеальную катушку с ненулевой индуктивностью меняется непрерывно. Он не может мгновенно исчезнуть или сменить направление. Это свойство напоминает инерцию груза: для изменения скорости требуется время.

Как запускают свободные колебания

Сначала конденсатор заряжают от источника. Затем источник отключают, а заряженный конденсатор замыкают через катушку. Начальный ток равен нулю; начальная энергия запасена в электрическом поле конденсатора.

После замыкания энергия перераспределяется внутри контура. Периодическое внешнее воздействие не требуется, поэтому колебания называют свободными. Источник понадобился для создания начального запаса энергии.

Идеальный контур — модель, в которой:

сопротивление проводов и катушки равно нулю;
нет потерь на нагрев, излучение и другие процессы;
ёмкость \(C\) и индуктивность \(L\) постоянны;
контур не получает энергию извне после запуска.

В этой модели колебания не затухают. В реальном контуре энергия постепенно рассеивается, и без её пополнения амплитуды уменьшаются.

Выбираем знаки заряда и тока

Назовём обкладки А и Б. Вначале обкладка А положительна. Обозначим её заряд через \(q\), а начальный максимальный заряд — через \(q_{\max}>0\).

Положительным считаем ток, направленный по внешней цепи через катушку от Б к А, то есть к выбранной обкладке А. Тогда положительный ток увеличивает \(q\), отрицательный уменьшает его:

\[ i=\frac{dq}{dt}. \]

Эта запись означает: ток — скорость изменения заряда выбранной обкладки. Для среднего тока за промежуток времени \(i_{\text{ср}}=\Delta q/\Delta t\). Направление тока здесь условное, принятое для движения положительных зарядов; электроны в металлическом проводе движутся в противоположную сторону.

При первом разряде заряд А уменьшается, поэтому \(i<0\): ток направлен через катушку от А к Б. Отрицательный знак указывает направление относительно выбранного положительного отсчёта.

Первая половина цикла

Первая четверть периода: разряд. Электрическое поле заряженного конденсатора приводит заряды в движение. Заряд А уменьшается от \(+q_{\max}\) до нуля. Ток направлен от А к Б, его модуль растёт; магнитное поле катушки усиливается. Электрическая энергия переходит в магнитную.

Когда \(q=0\), напряжение конденсатора равно нулю, но модуль тока максимален. Полный разряд конденсатора не означает остановку колебаний.

Вторая четверть периода: перезарядка. Благодаря самоиндукции ток продолжает идти от А к Б. На А накапливается отрицательный заряд, на Б — положительный. Возникающее электрическое поле теперь препятствует прежнему току: его модуль уменьшается, а энергия магнитного поля переходит в электрическую.

Через половину периода \(q=-q_{\max}\), ток на мгновение равен нулю. Конденсатор заряжен с противоположной полярностью. Это ещё не исходное состояние.

Вторая половина цикла

Третья четверть периода: обратный разряд. Электрическое поле перезаряженного конденсатора создаёт ток через катушку от Б к А: теперь \(i>0\). Заряд А растёт от \(-q_{\max}\) до нуля. Модуль тока и энергия магнитного поля увеличиваются.

Четвёртая четверть периода: возврат к началу. После разряда ток продолжает идти от Б к А, снова заряжая А положительно. По мере зарядки его модуль уменьшается. Магнитная энергия переходит в электрическую.

К концу периода \(q=+q_{\max}\) и \(i=0\). Повторились заряд, полярность и ток — завершился полный цикл.

Четыре опорных состояния

Период \(T\) — время полного повторения состояния. Обозначим максимальный модуль тока через \(i_{\max}>0\).

Момент	Заряд А	Ток через катушку	Где вся энергия
\(0\)	\(+q_{\max}\)	\(0\)	Электрическое поле
\(T/4\)	\(0\)	\(-i_{\max}\), от А к Б	Магнитное поле
\(T/2\)	\(-q_{\max}\)	\(0\)	Электрическое поле
\(3T/4\)	\(0\)	\(+i_{\max}\), от Б к А	Магнитное поле

Между этими моментами оба поля обычно имеют ненулевую энергию. В момент \(T\) повторяется начальное состояние.

Ток непрерывно проходит через нуль при максимальном модуле заряда. Заряд непрерывно проходит через нуль при максимальном модуле тока. Поэтому два соседних разряда конденсатора разделены половиной периода, а направления тока при них противоположны.

Энергия электрического и магнитного полей

Энергия электрического поля конденсатора:

\[ W_{\text{эл}}=\frac{q^2}{2C}=\frac{CU^2}{2}. \]

Энергия магнитного поля катушки:

\[ W_{\text{маг}}=\frac{Li^2}{2}. \]

Обе энергии неотрицательны: изменение знака заряда или направления тока само по себе не меняет энергию. Энергию измеряют в джоулях.

В идеальном контуре полная энергия постоянна:

\[ W=W_{\text{эл}}+W_{\text{маг}} =\frac{q^2}{2C}+\frac{Li^2}{2} =\frac{q_{\max}^2}{2C} =\frac{Li_{\max}^2}{2}. \]

Последние два выражения относятся к разным моментам: вся энергия бывает электрической или магнитной. Максимумы этих энергий не наступают одновременно, поэтому складывать их как одновременные значения нельзя.

Аналогия с грузом на пружине

Сравним контур с горизонтальным грузом на пружине без трения.

Механическая система	Колебательный контур
Смещение \(x\)	Заряд \(q\) выбранной обкладки
Скорость \(v\) — изменение \(x\)	Ток \(i\) — изменение \(q\)
Масса \(m\)	Индуктивность \(L\)
Жёсткость \(k\)	Обратная ёмкость \(1/C\)
Потенциальная энергия \(kx^2/2\)	Электрическая энергия \(q^2/(2C)\)
Кинетическая энергия \(mv^2/2\)	Магнитная энергия \(Li^2/2\)

При отклонении пружина стремится вернуть груз к равновесию. Аналогичную возвращающую роль в контуре играет электрическое поле конденсатора: при ненулевом заряде оно вызывает такое изменение тока, которое уменьшает отклонение заряда от нуля.

Инерция позволяет грузу пройти равновесие и сжать пружину с другой стороны. Самоиндукция поддерживает ток после разряда и позволяет перезарядить конденсатор. Поэтому в обоих случаях прохождение равновесия не завершает движение.

При одном заряде меньшая ёмкость означает большее напряжение \(U=q/C\). Именно поэтому жёсткости соответствует \(1/C\): чем меньше ёмкость, тем сильнее возвращающее действие при данном заряде. Индуктивность, подобно массе, характеризует противодействие изменению тока, подобно изменению скорости.

Аналогия связывает законы двух систем. Она не означает, что заряд является механическим смещением или что катушка обладает массой, численно равной индуктивности.

Гармонические изменения заряда и тока

При постоянных \(L\) и \(C\) в идеальном контуре заряд изменяется гармонически. Для выбранного начала отсчёта:

\[ q=q_{\max}\cos(\omega t),\qquad i=-i_{\max}\sin(\omega t),\qquad i_{\max}=\omega q_{\max}. \]

Здесь \(\omega=2\pi/T\) — циклическая частота. Эти формулы согласованы с условием \(i=dq/dt\); для чтения четырёх опорных состояний достаточно значений синуса и косинуса.

Напряжение \(U=q/C\) меняется в одной фазе с зарядом. Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода: при максимальном модуле одного другая величина равна нулю. Минус перед синусом соответствует нашему выбору направления тока.

Пример: находим заряд и максимальный ток

Конденсатор ёмкостью \(C=2{,}0\ \text{мкФ}\) зарядили до \(U_0=10\ \text{В}\), отключили источник и замкнули на идеальную катушку с \(L=0{,}020\ \text{Гн}\). Начальный ток равен нулю.

Начальный заряд выбранной положительной обкладки:

\[ q_{\max}=CU_0=2{,}0\cdot10^{-6}\cdot10 =2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Кл}=20\ \text{мкКл}. \]

Начальная электрическая энергия равна всей энергии контура:

\[ W=\frac{CU_0^2}{2} =\frac{2{,}0\cdot10^{-6}\cdot10^2}{2} =1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{Дж}. \]

В момент полного разряда вся энергия оказывается в магнитном поле:

\[ i_{\max}=\sqrt{\frac{2W}{L}} =\sqrt{\frac{2\cdot10^{-4}}{0{,}020}} =0{,}10\ \text{А}. \]

Это модуль тока. В момент первого полного разряда \(i=-0{,}10\ \text{А}\): ток идёт от А к Б. При следующем полном разряде знак будет положительным.

Пример: определяем стадию колебаний

Пусть после первого полного разряда заряд А уже отрицателен и равен \(q=-q_{\max}/2\), а ток ещё направлен от А к Б.

Ток отрицателен, поэтому \(q\) продолжает уменьшаться: модуль отрицательного заряда растёт. Идёт вторая четверть периода — конденсатор перезаряжается, энергия магнитного поля убывает.

Поскольку электрическая энергия пропорциональна квадрату заряда:

\[ W_{\text{эл}}=\frac{(-q_{\max}/2)^2}{2C}=\frac{W}{4}, \qquad W_{\text{маг}}=W-\frac{W}{4}=\frac{3W}{4}. \]

Одного значения \(q\) недостаточно, чтобы определить стадию: при том же отрицательном заряде конденсатор позднее будет разряжаться, но ток пойдёт уже от Б к А.

Что нужно запомнить

Колебательный контур соединяет конденсатор и катушку. После начальной зарядки и отключения источника в идеальном контуре возникают свободные незатухающие колебания.

Электрическое поле обеспечивает возвращающее действие, самоиндукция позволяет току продолжаться после разряда. Конденсатор периодически перезаряжается, а энергия переходит между электрическим и магнитным полями. При \(q=0\) модуль тока максимален; при максимальном модуле заряда ток равен нулю.

Соответствия \(q\leftrightarrow x\), \(i\leftrightarrow v\), \(L\leftrightarrow m\), \(1/C\leftrightarrow k\) позволяют объяснить процесс по аналогии с грузом на пружине.

Домашнее задание: §27–29.

Вопросы для самопроверки

Какие элементы образуют простейший колебательный контур? Где в нём запасается энергия?
Почему колебания после отключения источника называют свободными? За счёт чего они продолжаются?
Почему после полного разряда конденсатора ток не прекращается? Что происходит с полярностью обкладок?
Почему самоиндукция иногда сдерживает ток, а иногда поддерживает его?
Какие величины в механической системе соответствуют заряду, току, ёмкости и индуктивности?
Почему одинаковый заряд ещё не означает одинаковое состояние контура? Какие идеальные допущения нужны для незатухающих колебаний?

Самостоятельная работа

Во всех заданиях контур идеален, \(L\) и \(C\) постоянны. Для знаков используй обкладку А и направление тока от Б к А, выбранные в статье.

Конденсатор ёмкостью \(4{,}0\ \text{мкФ}\) заряжен до \(15\ \text{В}\). Найди модуль заряда обкладки и энергию электрического поля.
Катушка имеет индуктивность \(0{,}080\ \text{Гн}\). В момент полного разряда конденсатора ток имеет модуль \(0{,}050\ \text{А}\). Найди полную энергию контура.
В начальный момент \(q=+q_{\max}\) и \(i=0\). Опиши знаки заряда и тока, направления тока через катушку и превращения энергии между моментами \(T/2\) и \(3T/4\).
Заряд обкладки А положителен, а ток направлен от Б к А. Определи, заряжается или разряжается конденсатор, увеличивается или уменьшается энергия магнитного поля. Обоснуй вывод.
В некоторый момент \(q=q_{\max}/3\). Какая доля полной энергии заключена в электрическом поле, а какая — в магнитном? Можно ли по этим данным узнать направление тока?
Составь пары соответствующих состояний контура и пружинного маятника: максимальный положительный заряд, полный разряд при отрицательном токе, максимальный отрицательный заряд. Укажи координату и направление скорости груза.