Индуктивность. Самоиндукция. Энергия магнитного поля. Электромагнитное поле

Электрический ток создаёт магнитное поле. Если ток в катушке изменяется, изменяется и созданный им магнитный поток. По закону электромагнитной индукции это вызывает ЭДС в самой катушке. Поэтому катушка влияет на изменение тока в собственной цепи, а в её магнитном поле может накапливаться энергия.

Что такое самоиндукция

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в электрической цепи вследствие изменения магнитного потока, созданного током этой же цепи.

Для возникновения самоиндукции внешний движущийся магнит не нужен. Причиной изменения потока служит изменение собственного тока. Например, при замыкании цепи ток растёт, магнитное поле катушки усиливается, и появляется ЭДС самоиндукции.

По правилу Ленца ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока:

при увеличении тока её действие направлено против его нарастания;
при уменьшении тока она стремится поддержать прежнее направление тока.

Самоиндукция препятствует изменению тока, поэтому её действие может быть как против направления тока, так и в его направлении. Если ток и свойства катушки постоянны, ЭДС самоиндукции равна нулю, хотя магнитное поле существует.

Индуктивность

Магнитный поток через один виток обозначают \(\Phi\). Для катушки из \(N\) витков, через каждый из которых проходит одинаковый поток, используют потокосцепление:

\[ \Psi=N\Phi. \]

В общем случае потокосцепление равно сумме потоков через витки. Для катушки с неизменными геометрией и магнитными свойствами, в области линейной зависимости потока от тока:

\[ \Psi=LI. \]

Коэффициент \(L\) называется индуктивностью. Он характеризует связь собственного магнитного потока цепи с током и способность цепи противодействовать изменению тока. Единица индуктивности — генри (Гн):

\[ 1\ \text{Гн}=1\ \frac{\text{Вб}}{\text{А}}=1\ \frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{А}}. \]

Индуктивность зависит от формы и размеров катушки, числа витков и магнитных свойств среды. Введение ферромагнитного сердечника обычно увеличивает индуктивность. Однако для такого сердечника зависимость потока от тока может быть нелинейной; постоянное значение \(L\) применяют лишь там, где это допустимое приближение.

Для длинного соленоида в идеализированной модели:

\[ L=\mu_0\mu\frac{N^2S}{l}, \]

где \(S\) — площадь поперечного сечения, \(l\) — длина соленоида, \(\mu_0\) — магнитная постоянная, \(\mu\) — относительная магнитная проницаемость среды. Формула показывает, почему число витков и сердечник существенно влияют на индуктивность; её нельзя без проверки применять к катушке любой формы.

ЭДС самоиндукции

Закон Фарадея для катушки записывается через потокосцепление. Если индуктивность постоянна, средняя ЭДС за промежуток времени равна:

\[ \mathcal{E}_{\text{си}}=-\frac{\Delta\Psi}{\Delta t}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}. \]

Здесь \(\Delta I=I_2-I_1\). Если ток изменяется равномерно, эта формула даёт и постоянную ЭДС на всём рассматриваемом промежутке. Для мгновенного значения при произвольном изменении тока используют:

\[ \mathcal{E}_{\text{си}}=-L\frac{dI}{dt}. \]

Чем больше индуктивность и чем быстрее изменяется ток, тем больше модуль ЭДС. Знак минус выражает правило Ленца относительно выбранного положительного направления тока.

Пример. В катушке индуктивностью \(0{,}4\ \text{Гн}\) ток равномерно увеличивается от \(1\) до \(3\ \text{А}\) за \(0{,}2\ \text{с}\). Модуль ЭДС самоиндукции:

\[ |\mathcal{E}_{\text{си}}|=0{,}4\frac{3-1}{0{,}2}=4\ \text{В}. \]

Её действие препятствует увеличению тока. При уменьшении тока с той же скоростью модуль ЭДС был бы таким же, а направление её действия изменилось бы.

Замыкание и размыкание цепи

При подключении катушки к источнику постоянного напряжения ток обычно нарастает постепенно: ЭДС самоиндукции противодействует его росту. После установления постоянного тока самоиндукция перестаёт создавать ЭДС. В реальной катушке остаётся сопротивление провода, поэтому через неё при постоянном токе может выделяться теплота.

При быстром размыкании цепи ток резко уменьшается. Катушка стремится поддержать его, и модуль ЭДС может оказаться большим. Это объясняет возможную искру между контактами выключателя. Энергия при этом поступает из ранее созданного магнитного поля, а не возникает из ничего.

Это объяснение явления, а не задание для домашнего опыта: размыкание цепей с катушками изучают на предусмотренной для этого учебной установке.

Энергия магнитного поля катушки

При увеличении тока источник совершает работу против действия ЭДС самоиндукции. Часть переданной энергии накапливается в магнитном поле. Для линейной катушки с постоянной индуктивностью:

\[ W_{\text{м}}=\frac{LI^2}{2}. \]

Энергия измеряется в джоулях. При удвоении тока энергия поля увеличивается в четыре раза; при удвоении индуктивности и неизменном токе — в два раза.

Пример. В катушке индуктивностью \(0{,}5\ \text{Гн}\) протекает ток \(2\ \text{А}\). Энергия магнитного поля:

\[ W_{\text{м}}=\frac{0{,}5\cdot2^2}{2}=1\ \text{Дж}. \]

При уменьшении тока энергия поля может передаваться другим элементам цепи. В реальной цепи часть энергии превращается во внутреннюю энергию проводников и других тел.

По форме эта зависимость напоминает кинетическую энергию \(mv^2/2\): индуктивность соответствует массе, а ток — скорости. Такая аналогия помогает понять противодействие изменению тока, но не означает, что магнитное поле является движущимся механическим телом.

Электромагнитное поле

Электрическое и магнитное поля связаны между собой. Электрические заряды создают электрическое поле, электрический ток — магнитное. Изменяющееся магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле, которое может действовать на заряды и вызывать индукционный ток. Изменяющееся электрическое поле также связано с возникновением магнитного поля.

Эти связи позволяют рассматривать электрическое и магнитное поля как стороны единого электромагнитного поля. Поле обладает энергией и может передавать её. Самоиндукция — один из примеров взаимосвязи тока, магнитного потока и электрического поля.

Как решать задачи

Сначала установи, что требуется найти: потокосцепление, ЭДС или энергию. Переведи миллигенри в генри и миллисекунды в секунды. Для ЭДС найди изменение тока и длительность изменения; для энергии используй значение тока в заданный момент.

\[ 1\ \text{мГн}=10^{-3}\ \text{Гн},\qquad 1\ \text{мс}=10^{-3}\ \text{с}. \]

Не подставляй конечный ток вместо его изменения в формулу ЭДС. Направление действия ЭДС объясняй отдельно по правилу Ленца. Проверь, допускает ли условие считать индуктивность постоянной.

Главное

Самоиндукция возникает при изменении собственного магнитного потока цепи. Индуктивность связывает потокосцепление с током. При постоянной индуктивности ЭДС самоиндукции определяется скоростью изменения тока, а энергия магнитного поля — квадратом тока. Электрическое и магнитное поля связаны и образуют электромагнитное поле.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

В расчётных задачах индуктивность постоянна, ток меняется равномерно на указанном промежутке времени.

Чем самоиндукция отличается от индукции, вызванной движением внешнего магнита?
Почему неверно утверждение, что ЭДС самоиндукции всегда направлена против тока?
Есть ли ЭДС самоиндукции при постоянном токе в неизменной катушке? Существует ли её магнитное поле?
В катушке индуктивностью \(0{,}2\ \text{Гн}\) ток увеличивается от \(0\) до \(4\ \text{А}\) за \(0{,}5\ \text{с}\). Найди модуль ЭДС и объясни направление её действия.
Ток в катушке индуктивностью \(80\ \text{мГн}\) уменьшается от \(3\) до \(1\ \text{А}\) за \(20\ \text{мс}\). Найди модуль ЭДС самоиндукции.
Изменение тока на \(2\ \text{А}\) за \(0{,}1\ \text{с}\) вызывает ЭДС самоиндукции с модулем \(6\ \text{В}\). Определи индуктивность.
Найди энергию магнитного поля катушки индуктивностью \(0{,}3\ \text{Гн}\) при токе \(2\ \text{А}\).
Во сколько раз изменится энергия поля, если ток уменьшить в три раза при неизменной индуктивности?
Поток через каждый из \(200\) витков равен \(0{,}5\ \text{мВб}\) и создаётся током \(1\ \text{А}\). Определи потокосцепление и индуктивность катушки.
Почему при быстром размыкании цепи с катушкой может возникнуть искра? Откуда берётся передаваемая энергия?
Какое поле возникает при изменении магнитного поля? Как это связано с электромагнитной индукцией?

Домашнее задание по тематическому плану: §15–17.