Физика 11. Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Сила Лоренца. Работа силы Лоренца

Магнитное поле может изменять направление движения электронов и других заряженных частиц. Так возникает сила, действующая на проводник с током: ток представляет собой упорядоченное движение зарядов. На отдельную движущуюся частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца.

Модуль силы

Для частицы с зарядом $q$, движущейся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, модуль магнитной силы Лоренца равен:

\[F_{\text{Л}}=|q|vB\sin\alpha,\]

где $\alpha$ — угол между векторами скорости $\vec v$ и магнитной индукции $\vec B$. Заряд измеряют в кулонах, скорость — в м/с, индукцию — в теслах, силу — в ньютонах. Модуль заряда нужен потому, что модуль силы не может быть отрицательным. Знак заряда определяет направление.

Условия	Магнитная сила
Частица покоится, $v=0$	Равна нулю
Частица движется вдоль или против поля	Равна нулю, поскольку $\sin\alpha=0$
Скорость перпендикулярна полю	$F_{\text{Л}}=
Скорость направлена под другим углом	Учитывается множитель $\sin\alpha$

Нейтральная частица в модели точечного заряда не испытывает этой силы. У реальных нейтральных частиц могут быть другие взаимодействия с полем, которые здесь не рассматриваются.

Если одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, полная сила Лоренца записывается:

\[\vec F=q\vec E+q(\vec v\times\vec B).\]

В этой теме рассматриваем именно магнитную составляющую $\vec F_{\text{Л}}=q(\vec v\times\vec B)$. Утверждение об отсутствии работы относится к ней. Электрическая составляющая способна менять кинетическую энергию частицы.

Направление: правило левой руки

Магнитная сила перпендикулярна и скорости частицы, и магнитной индукции.

Для положительного заряда расположите левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре пальца были направлены по скорости частицы. Отогнутый большой палец покажет направление силы.

Для отрицательного заряда сначала найдите направление для положительного заряда с такой же скоростью, затем измените его на противоположное. Можно также направлять четыре пальца против скорости отрицательной частицы. Важно не применять правило по скорости электрона как для положительного заряда.

На рисунках символ $\odot$ означает направление из плоскости к наблюдателю, а $\otimes$ — в плоскость от наблюдателя: видны соответственно «острие» и «оперение» условной стрелки.

Пример направления. Скорость положительной частицы направлена вправо, поле — в плоскость страницы. Сила направлена вверх. Для электрона при той же скорости и том же поле сила направлена вниз.

Пример 1. Расчёт силы

Протон движется перпендикулярно полю с индукцией 0,2 Тл со скоростью $3\cdot10^6$ м/с. Заряд протона $q=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл.

\[F_{\text{Л}}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^6\cdot0{,}2=9{,}6\cdot10^{-14}\ \text{Н}.\]

Ответ: $9{,}6\cdot10^{-14}$ Н. Если при тех же данных угол равен 30°, сила будет вдвое меньше, поскольку $\sin30^\circ=0{,}5$.

Почему магнитная сила не совершает работу

За малый промежуток времени перемещение частицы направлено по её скорости. Магнитная сила перпендикулярна скорости и этому перемещению. Поэтому элементарная работа:

\[\Delta A=F_{\text{Л}}\Delta s\cos90^\circ=0.\]

Сумма таких работ на всём пути также равна нулю:

\[A_{\text{Л}}=0.\]

По теореме о кинетической энергии работа равна её изменению. Если на частицу действует только магнитная сила, то:

\[E_k=\frac{mv^2}{2}=\text{const},\qquad v=\text{const}.\]

Постоянным остаётся модуль скорости, но её направление может меняться. Поэтому ускорение может быть ненулевым, несмотря на неизменную кинетическую энергию. Магнитное поле отклоняет частицу, а не разгоняет её по модулю скорости.

Движение в однородном поле

Рассмотрим нерелятивистскую частицу в постоянном однородном магнитном поле. Другими силами пренебрегаем.

Скорость перпендикулярна полю

Сила постоянно перпендикулярна скорости и играет роль центростремительной. Частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной полю:

\[|q|vB=\frac{mv^2}{r}.\]

Для ненулевой скорости:

\[r=\frac{mv}{|q|B}.\]

Большая масса или скорость увеличивает радиус, больший модуль заряда или индукция уменьшает его. Знак заряда меняет направление обхода, но при одинаковых $m$, $v$ и $|q|$ не меняет радиус.

Период обращения:

\[T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}.\]

В этой модели период не зависит от скорости. При скоростях, близких к скорости света, необходимо использовать релятивистское описание, и приведённые зависимости требуют изменения.

Скорость параллельна полю

Магнитная сила равна нулю. При отсутствии других сил частица движется равномерно и прямолинейно.

Скорость под углом к полю

Разложим скорость на составляющие $v_{\parallel}$ вдоль поля и $v_{\perp}$ поперёк него. Поперечная составляющая вызывает круговое движение, продольная остаётся постоянной. Траектория получается винтовой линией:

\[r=\frac{mv_{\perp}}{|q|B},\qquad h=v_{\parallel}T,\]

где $h$ — расстояние вдоль поля за один оборот. В формулу радиуса нужно подставлять поперечную составляющую, а не весь модуль скорости.

Пример 2. Радиус траектории протона

Протон массой $1{,}67\cdot10^{-27}$ кг движется со скоростью $2\cdot10^6$ м/с перпендикулярно полю 0,5 Тл.

\[r=\frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2\cdot10^6}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}5}=0{,}04175\ \text{м}\approx4{,}2\ \text{см}.\]

\[T=\frac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}5}\approx1{,}31\cdot10^{-7}\ \text{с}.\]

Ответ: радиус около 4,2 см; период около $1{,}31\cdot10^{-7}$ с. Сила меняет направление скорости, но за полный оборот, как и за любой участок пути, её работа равна нулю.

Связь с силой Ампера и применение

В проводнике движется множество зарядов. Суммарное действие магнитных сил на носители тока передаётся проводнику; макроскопически это описывают силой Ампера. При определении её направления используют направление условного тока — движение положительных зарядов, противоположное направлению движения электронов в металле.

Магнитное отклонение используют для управления пучками заряженных частиц и разделения частиц по отношению массы к модулю заряда. В ускорителях магнитное поле направляет движение, а энергию частиц увеличивает электрическое поле. Формула радиуса позволяет понять, почему частицы с разными параметрами отклоняются по-разному.

Главное

Магнитная сила Лоренца действует на движущийся заряд: $F_{\text{Л}}=|q|vB\sin\alpha$. Её направление зависит от знака заряда. Она перпендикулярна скорости, поэтому не совершает работы и сама по себе не меняет кинетическую энергию. В однородном поле возможны прямолинейная, круговая и винтовая траектории.

Проверь себя

Используй $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл. В расчётах движение нерелятивистское, поле однородное, другие силы не учитываются.

При каких направлениях скорости магнитная сила равна нулю? Когда её модуль максимален при фиксированных $q$, $v$ и $B$?
Положительный заряд движется вправо, поле направлено в плоскость страницы. Куда направлена сила? Что изменится для отрицательного заряда?
Электрон движется перпендикулярно полю 0,1 Тл со скоростью $5\cdot10^6$ м/с. Найди модуль силы.
Как изменится сила в задаче 3, если угол между скоростью и полем станет 30°?
Чему равна работа магнитной силы на пути длиной 2 м? Нужно ли знать модуль силы для ответа?
Протон движется по окружности радиусом 4 см. Как изменится радиус, если скорость увеличить вдвое при прежнем поле?
Как изменятся радиус и период обращения при увеличении индукции вдвое?
Почему неизменный модуль скорости не означает отсутствия ускорения?
Как движется частица, скорость которой имеет ненулевые составляющие вдоль и поперёк поля?
Можно ли разогнать частицу по модулю скорости только постоянным магнитным полем?

Ответы для самопроверки

1. При движении вдоль или против поля сила равна нулю; также она равна нулю при $v=0$. Максимум достигается при перпендикулярной скорости: $\sin\alpha=1$.

Для положительного заряда вверх, для отрицательного вниз.
$F_{\text{Л}}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^6\cdot0{,}1=8\cdot10^{-14}\ \text{Н}$.
Уменьшится вдвое: $4\cdot10^{-14}\ \text{Н}$.
Нулю: магнитная сила в каждый момент перпендикулярна скорости. Модуль силы и длина пути не нужны.
Радиус увеличится вдвое, до 8 см: $r\propto v$.
И радиус, и период уменьшатся вдвое: $r\propto1/B$, $T\propto1/B$.
Ускорение характеризует изменение вектора скорости, а при движении по окружности меняется его направление.
По винтовой линии; движение вдоль поля равномерное, поперёк него круговое.
Нет. Магнитная сила не совершает работы. Для увеличения кинетической энергии требуется работа другой силы, например электрической.

Домашнее задание по тематическому плану: §6.

Условия	Магнитная сила
Частица покоится, \(v=0\)	Равна нулю
Частица движется вдоль или против поля	Равна нулю, поскольку \(\sin\alpha=0\)
Скорость перпендикулярна полю	$F_{\text{Л}}=
Скорость направлена под другим углом	Учитывается множитель \(\sin\alpha\)