Лабораторная работа «Исследование зависимости периода малых колебаний груза на нити от длины нити и массы груза»

Цель и оборудование

Цель: по собственным измерениям выяснить, как период малых колебаний груза на нити связан с длиной маятника и массой груза, и сравнить результаты с физической моделью.

Понадобятся штатив с креплением, лёгкая прочная нить, компактные грузы известной массы, линейка и часы с секундной шкалой или секундомер. Работа не требует подключения к электросети. Массы берите из маркировки грузов; учитывайте массу держателя, если он используется. Неизвестную массу не заменяйте предположением.

Установите штатив устойчиво, проверьте крепление нити и груза. Освободите место для колебаний. Меняйте длину и массу только после остановки маятника, придерживая груз. Не допускайте падения грузов и ударов о стол или людей.

Маятник и его длина

Груз на нити колеблется около положения равновесия. После отклонения составляющая силы тяжести возвращает его к равновесию, а инерция позволяет пройти через него и отклониться в другую сторону.

Модель математического маятника рассматривает маленькое тело на невесомой нерастяжимой нити. Для реального опыта выбирайте компактный груз, размеры которого значительно меньше длины маятника, и нить, которая заметно не растягивается.

Длину маятника \(l\) измеряют от точки подвеса до центра масс груза, а не до его верхнего края. У однородного шарика центр масс находится в центре. При замене груза положение центра масс может измениться: длину нужно проверить заново.

Период малых колебаний

Полное колебание — возвращение в то же положение с тем же направлением движения. Например, путь из левого крайнего положения в правое и обратно занимает один период. Переход только из одного крайнего положения в другое — половина колебания.

Если время \(N\) полных колебаний равно \(t\), то период:

\[ T=\frac{t}{N}. \]

В модели математического маятника при малом отклонении:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \]

где \(g\) — ускорение свободного падения. Длину выражают в метрах, время и период — в секундах. Модель предсказывает увеличение периода с длиной и отсутствие зависимости от массы. Это предсказания для проверки, а не готовые результаты опыта.

Отклоняйте нить от вертикали примерно на \(5\)–\(10^\circ\). При больших углах формула малых колебаний становится менее точной. Для сравнения опытов сохраняйте примерно одинаковый небольшой начальный угол.

Как измерить период

Выберите число полных колебаний \(N\) от 10 до 20 и сохраняйте его во всей работе. Запишите выбранное число.
Отведите груз на небольшой угол и отпустите без толчка. Движение должно происходить в одной вертикальной плоскости, без вращения и круговых движений.
Выберите заметное положение для отсчёта, например прохождение равновесия в определённом направлении. При первом таком прохождении включите отсчёт и считайте «ноль».
Считайте только последующие прохождения этого положения в том же направлении. На счёте \(N\) остановите отсчёт. Запишите время \(t\).
Для тех же длины и массы выполните три измерения \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), каждый раз начиная с примерно одинакового малого угла.

За 10–20 колебаний время реакции при запуске и остановке составляет меньшую долю измеренного интервала, чем за одно колебание. Повторения помогают заметить разброс, но не устраняют неверное определение длины или ошибку счёта.

Пример расчёта по условным данным

Только для пояснения способа: пусть за \(N=15\) колебаний измерено \(t=24{,}0\ \text{с}\). Тогда

\[ T=\frac{24{,}0}{15}=1{,}60\ \text{с}. \]

Эти числа не являются результатами вашей работы. В таблицы вносите только собственные измерения.

Первая серия — меняем длину

Оставьте один и тот же груз. Выберите не менее трёх заметно различающихся длин в пределах устойчивой установки. Для каждой длины измерьте расстояние от подвеса до центра масс, затем трижды определите время выбранного числа колебаний.

Во всей серии сохраняйте массу, нить, точку подвеса, способ запуска, начальный угол, число колебаний и способ отсчёта времени. Если крепление сместилось, остановитесь, восстановите установку и повторно измерьте длину.

Постоянная масса \(m\): __ кг. Число колебаний \(N\): ____.

Длина \(l\), м	\(t_1\), с	\(t_2\), с	\(t_3\), с	\(T_{\text{ср}}\), с	\(T_{\text{ср}}^2\), с²

Вторая серия — меняем массу

Выберите одну длину и исследуйте не менее трёх различных масс. Используйте грузы близких размеров и формы, чтобы изменение сопротивления воздуха не стало дополнительной причиной различий. Если используется держатель, указывайте полную массу колеблющегося груза вместе с ним.

После каждой замены груза восстанавливайте ту же длину от подвеса до центра масс. Неизменная длина самой нити ещё не гарантирует неизменную длину маятника. Выполните для каждой массы три измерения времени. Сохраняйте прежние малый угол, число колебаний и способ отсчёта.

Постоянная длина \(l\): __ м. Число колебаний \(N\): ____.

Масса \(m\), кг	\(t_1\), с	\(t_2\), с	\(t_3\), с	\(T_{\text{ср}}\), с

Если нужные массы или длины недоступны, зафиксируйте фактически выполненные измерения и ограничение исследования. Дополнительные результаты не придумывайте.

Обработка измерений

Для каждой строки найдите среднее время и средний период:

\[ t_{\text{ср}}=\frac{t_1+t_2+t_3}{3},\qquad T_{\text{ср}}=\frac{t_{\text{ср}}}{N}. \]

Отдельно вычислите периоды повторных измерений \(T_1=t_1/N\), \(T_2=t_2/N\), \(T_3=t_3/N\): они понадобятся для оценки разброса. В первой серии возведите средний период в квадрат. Не округляйте промежуточные числа слишком рано; окончательный результат записывайте с точностью, которую позволяют измерения.

Сравните, как меняется средний период в первой и во второй сериях. Если какое-либо время резко отличается от остальных, проверьте счёт колебаний и условия опыта. Не удаляйте неудобный результат без объяснения; при явной ошибке запишите причину и повторите измерение.

График зависимости от длины

Из формулы модели следует:

\[ T^2=\frac{4\pi^2}{g}l. \]

Постройте по первой серии график: по горизонтальной оси отложите \(l\) в метрах, по вертикальной — \(T_{\text{ср}}^2\) в квадратных секундах. Подпишите оси и выберите удобный равномерный масштаб.

Нанесите экспериментальные точки. Проверьте, можно ли с учётом точности измерений описать их прямой, близкой к проходящей через начало координат. Проведите общую прямую по расположению точек, не соединяя их ломаной и не заставляя прямую проходить через каждую точку. Начало координат — предсказание модели, а не дополнительная измеренная точка.

Точность и ограничения опыта

Запишите цену деления линейки: __. Шаг отсчёта времени: ____. Отметьте, насколько уверенно определялось положение центра масс и что затрудняло запуск и остановку отсчёта.

Для каждой строки сравните наибольший и наименьший периоды повторов. Их разность показывает наблюдаемый разброс. Он не учитывает все ошибки: одинаковая задержка отсчёта или неверно выбранная точка измерения длины могут сохраняться во всех повторах.

Если оценённая погрешность измеренного интервала равна \(\Delta t\), её вклад в погрешность периода составляет примерно

\[ \Delta T\approx\frac{\Delta t}{N}. \]

При оценке \(\Delta t\) учитывайте и шаг часов, и задержку реакции человека: мелкая шкала секундомера сама по себе не обеспечивает такой же точности ручного отсчёта. Сопоставьте различия средних периодов с разбросом повторов и этой оценкой. Малое различие ещё не доказывает зависимость; отсутствие заметного различия не доказывает абсолютного равенства.

Дополнительные причины отклонений — погрешность длины, растяжение нити, слишком большой угол, затухание, движение вне одной плоскости и смещение крепления. Укажите те, которые действительно могли проявиться в вашей установке.

Отчёт и самостоятельный вывод

В отчёте сохраните цель, краткое описание установки, обе таблицы, расчёт одного среднего периода, график и оценку точности.

Напишите вывод по своим данным:

Как изменялся период при изменении длины? Что показывает график \(T^2(l)\)?
Обнаружили ли вы изменение периода при изменении массы и постоянной длине? Насколько оно заметно на фоне разброса и погрешности?
Согласуются ли результаты с моделью малых колебаний? Какие условия ограничивают этот вывод?

Указывайте исследованные диапазоны и используйте оговорку «в пределах точности опыта», когда сравниваете данные с моделью. Если измерений недостаточно или их точность не позволяет сделать уверенный вывод, прямо запишите это и предложите улучшение опыта.

Вопросы для самопроверки

Почему время между двумя соседними прохождениями равновесия нельзя автоматически считать периодом?
Зачем при исследовании длины сохраняют массу, а при исследовании массы — длину?
Почему после замены груза нужно заново проверить расстояние до его центра масс?
Как измерение времени нескольких колебаний влияет на относительную роль реакции человека?
Во сколько раз модель предсказывает изменение периода при увеличении длины в четыре раза? Сформулируйте проверяемое предположение до нового опыта.
Почему совпадение периодов с точностью до записанного знака ещё не доказывает их точного равенства?

Домашнее задание: §20.