Расчёт количества теплоты при нагревании и охлаждении

Чтобы нагреть воду для чая или остудить металлическую деталь, нужно передать энергию от одного тела к другому. Количество переданной энергии зависит от вещества, массы и изменения температуры. На этом уроке научимся рассчитывать эту энергию и находить неизвестные величины по условию задачи.

Какую энергию мы рассчитываем

Количество теплоты — энергия, полученная или отданная телом при теплопередаче. Обозначение — \(Q\), единица измерения — джоуль (Дж). Количество теплоты описывает процесс передачи энергии; тело обладает внутренней энергией, а не «запасом теплоты».

Удельная теплоёмкость \(c\) показывает, сколько энергии нужно для нагревания одного килограмма вещества на один градус без изменения агрегатного состояния. Её измеряют в \(\text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})\).

Для расчётов в этой статье используем округлённые учебные значения:

Вещество	Удельная теплоёмкость, Дж/(кг·°C)
Вода	4200
Алюминий	920
Железо	460
Медь	400

Если в условии задачи приведено другое значение, используй его. В рассматриваемом интервале температур считаем удельную теплоёмкость постоянной.

Нагревание и охлаждение

Пусть \(t_1\) — начальная температура, \(t_2\) — конечная, \(m\) — масса тела. При нагревании тело получает количество теплоты:

\[ Q_{\text{пол}}=cm(t_2-t_1),\qquad t_2>t_1. \]

При охлаждении тело отдаёт количество теплоты:

\[ Q_{\text{отд}}=cm(t_1-t_2),\qquad t_1>t_2. \]

Здесь полученное и отданное количества теплоты записаны как положительные величины. Для их расчёта всегда вычитаем меньшую температуру из большей. Общая запись для величины переданной энергии:

\[ Q=cm|t_2-t_1|. \]

В записи теплового баланса иногда используют другое соглашение: полученную теплоту считают положительной, отданную — отрицательной. Тогда \(Q=cm(t_2-t_1)\). Важно заранее определить, требуется ли величина отданной энергии или величина со знаком.

Формулы применимы к нагреванию и охлаждению без изменения агрегатного состояния. Для плавления и кипения понадобятся другие формулы. Здесь также предполагается, что изменение температуры связано с теплопередачей; совершением работы пренебрегают.

Порядок решения задачи

Определи, какое тело получает или отдаёт энергию, из какого оно вещества и меняется ли его агрегатное состояние.
Запиши известные величины и то, что требуется найти.
Переведи массу в килограммы, энергию — в джоули. Разность температур выражай в градусах Цельсия.
Найди изменение температуры. В формулу входит разность, а не конечная температура.
Выбери формулу и, если нужно, вырази неизвестную величину до подстановки чисел.
Выполни расчёт, запиши единицу измерения и проверь физический смысл результата.

Полезные соотношения:

\[ 1\ \text{кг}=1000\ \text{г},\qquad 1\ \text{кДж}=1000\ \text{Дж}. \]

Например, \(250\ \text{г}=0{,}25\ \text{кг}\). Если температура изменилась от \(15\) до \(65\ ^\circ\text{C}\), изменение составляет \(50\ ^\circ\text{C}\). Разности температур в градусах Цельсия и кельвинах численно одинаковы.

Пример: нагревание воды

Какое количество теплоты нужно для нагревания \(250\ \text{г}\) воды от \(20\) до \(60\ ^\circ\text{C}\)? Испарением воды пренебрегаем.

Масса воды \(m=0{,}25\ \text{кг}\), изменение температуры:

\[ \Delta t=60-20=40\ ^\circ\text{C}. \]

Вода получает энергию, поэтому:

\[ Q_{\text{пол}}=4200\cdot0{,}25\cdot40=42\,000\ \text{Дж}=42\ \text{кДж}. \]

Это энергия, полученная водой. Для нагревания воды вместе с сосудом потребуется также энергия на нагрев сосуда; часть энергии нагревателя может уйти в окружающую среду.

Пример: охлаждение металла

Железная деталь массой \(0{,}5\ \text{кг}\) остывает от \(100\) до \(30\ ^\circ\text{C}\). Какое количество теплоты она отдаёт?

Температура уменьшается на \(70\ ^\circ\text{C}\). Величина отданной энергии:

\[ Q_{\text{отд}}=460\cdot0{,}5\cdot(100-30)=16\,100\ \text{Дж}=16{,}1\ \text{кДж}. \]

Деталь передаёт энергию другим телам. Положительный результат означает величину отданной теплоты, а не нагревание детали.

Как найти массу или температуру

Из формулы \(Q=cm\Delta t\), где \(\Delta t\) — положительная величина изменения температуры, получаем:

\[ m=\frac{Q}{c\Delta t},\qquad \Delta t=\frac{Q}{cm}. \]

При нагревании конечная температура равна:

\[ t_2=t_1+\frac{Q_{\text{пол}}}{cm}. \]

При охлаждении:

\[ t_2=t_1-\frac{Q_{\text{отд}}}{cm}. \]

Пример. Медная деталь массой \(200\ \text{г}\) при температуре \(20\ ^\circ\text{C}\) получила \(2400\ \text{Дж}\). Найдём её конечную температуру:

\[ \Delta t=\frac{2400}{400\cdot0{,}2}=30\ ^\circ\text{C}, \]

\[ t_2=20+30=50\ ^\circ\text{C}. \]

Деталь получила энергию, поэтому конечная температура выше начальной.

Если нагреваются несколько тел

Когда вместе с водой нагревается сосуд, количество теплоты рассчитывают для каждого тела отдельно, затем складывают. Если вода и сосуд изменяют температуру на одинаковую величину:

\[ Q_{\text{общ}}=c_{\text{в}}m_{\text{в}}\Delta t+c_{\text{с}}m_{\text{с}}\Delta t. \]

При теплообмене горячего и холодного тел в изолированной системе отданная теплота равна полученной. Если учитывают только две порции воды, но сосуд и воздух тоже получают энергию, равенство для одних порций может выполняться лишь приближённо.

Как проверить результат

Проверь единицы: произведение удельной теплоёмкости, массы и изменения температуры должно давать джоули. При одинаковых веществе и изменении температуры удвоение массы требует вдвое больше теплоты. При одинаковых массе и веществе удвоение изменения температуры тоже удваивает количество теплоты.

Частые ошибки — подставить граммы вместо килограммов, конечную температуру вместо её изменения или забыть перевести килоджоули в джоули. Если вычисленная температура выходит за границы агрегатного состояния вещества при условиях задачи, нужно проверить применимость выбранной модели.

Главное

Количество теплоты при нагревании и охлаждении без фазового перехода рассчитывают по массе, удельной теплоёмкости и изменению температуры. Для величины полученной или отданной энергии используют положительную разность температур. Направление изменения температуры нужно учитывать отдельно при определении её конечного значения.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

В расчётах используй таблицу удельных теплоёмкостей выше. Во всех задачах агрегатное состояние вещества сохраняется. Потерями энергии и нагреванием сосуда пренебрегай, кроме задачи 8.

Почему для нагревания двух килограммов воды требуется больше энергии, чем для одного килограмма, если изменение температуры одинаково?
Вода нагрелась от \(10\) до \(40\ ^\circ\text{C}\), а другая равная по массе порция — от \(40\) до \(70\ ^\circ\text{C}\). Сравни полученные количества теплоты и объясни вывод.
Найди количество теплоты для нагревания \(300\ \text{г}\) воды от \(15\) до \(45\ ^\circ\text{C}\).
Алюминиевая деталь массой \(2\ \text{кг}\) охлаждается от \(80\) до \(25\ ^\circ\text{C}\). Найди величину отданной теплоты.
Какая масса воды при нагревании на \(20\ ^\circ\text{C}\) получает \(84\ \text{кДж}\)?
Железная деталь массой \(500\ \text{г}\) при температуре \(20\ ^\circ\text{C}\) получила \(9{,}2\ \text{кДж}\). Найди конечную температуру.
Медная деталь массой \(250\ \text{г}\) при температуре \(90\ ^\circ\text{C}\) отдала \(5\ \text{кДж}\). До какой температуры она охладилась?
В алюминиевом сосуде массой \(100\ \text{г}\) находятся \(400\ \text{г}\) воды. Сосуд и вода нагреваются от \(20\) до \(50\ ^\circ\text{C}\). Найди суммарное количество теплоты, полученное ими. Потерями в окружающую среду пренебрегай.
Тела из меди и железа имеют одинаковые массы и получают одинаковые количества теплоты. У какого тела изменение температуры больше? Объясни без числового расчёта.
Ученик рассчитал нагревание \(200\ \text{г}\) воды от \(20\) до \(50\ ^\circ\text{C}\) по записи \(Q=4200\cdot200\cdot50\). Найди и объясни ошибки в его записи.

Домашнее задание по тематическому плану: §10–12.