Физика 8. Уравнение теплового баланса. Теплообмен и тепловое равновесие

Если смешать горячую и холодную воду, горячая вода остынет, а холодная нагреется. Через некоторое время у смеси установится общая температура. Она зависит от начальных температур и масс обеих порций. Найти её позволяет закон сохранения энергии.

Теплообмен и тепловое равновесие

Теплообмен — передача энергии от одних тел к другим вследствие различия их температур. При самопроизвольном теплообмене энергия переходит от более горячего тела к более холодному. Передача может происходить благодаря теплопроводности, конвекции и излучению.

Температура характеризует тепловое состояние тела. Количество теплоты \(Q\) — энергия, переданная при теплопередаче; оно измеряется в джоулях. Нельзя говорить, что внутри тела «хранится теплота»: тело обладает внутренней энергией.

Тепловое равновесие — состояние, при котором соприкасающиеся и обменивающиеся теплотой тела имеют одинаковую температуру и между ними нет результирующей передачи энергии из-за разности температур. Движение частиц при этом не прекращается.

Вода и металлическая ложка могут иметь одинаковую температуру, но разную внутреннюю энергию. Равенство температур не означает равенства масс, удельных теплоёмкостей или внутренних энергий.

Закон сохранения энергии при теплообмене

Рассмотрим два тела, которые обмениваются энергией только друг с другом. Горячее тело отдаёт энергию, холодное получает её. Если система не получает энергию извне и не теряет её, количество отданной теплоты равно количеству полученной:

\[Q_{\text{отд}}=Q_{\text{пол}}.\]

Это уравнение теплового баланса. Здесь обе величины считаем положительными. Для нескольких тел сумма отданных количеств теплоты равна сумме полученных.

Можно применять и другое соглашение: полученная телом теплота положительна, отданная отрицательна. Тогда для изолированной системы:

\[Q_1+Q_2+\ldots+Q_n=0.\]

Оба способа выражают один закон. Нельзя одновременно подставлять отрицательное \(Q_{\text{отд}}\) и писать равенство положительных отданной и полученной величин.

Уравнение для двух тел

Пусть горячее тело имеет массу \(m_{\text{г}}\), удельную теплоёмкость \(c_{\text{г}}\) и начальную температуру \(t_{\text{г}}\). У холодного тела соответствующие величины — \(m_{\text{х}}\), \(c_{\text{х}}\), \(t_{\text{х}}\). Общую конечную температуру обозначим \(t\).

При охлаждении горячего тела:

\[Q_{\text{отд}}=c_{\text{г}}m_{\text{г}}(t_{\text{г}}-t).\]

При нагревании холодного тела:

\[Q_{\text{пол}}=c_{\text{х}}m_{\text{х}}(t-t_{\text{х}}).\]

Поэтому:

\[c_{\text{г}}m_{\text{г}}(t_{\text{г}}-t)=c_{\text{х}}m_{\text{х}}(t-t_{\text{х}}).\]

В этой модели нет теплопотерь, нагревания сосуда и изменения агрегатного состояния. Удельные теплоёмкости считаются постоянными. Для льда, кипящей воды или плавящегося металла потребуется дополнительно учитывать энергию фазового перехода.

Выразим температуру равновесия:

\[t=\frac{c_{\text{г}}m_{\text{г}}t_{\text{г}}+c_{\text{х}}m_{\text{х}}t_{\text{х}}}{c_{\text{г}}m_{\text{г}}+c_{\text{х}}m_{\text{х}}}.\]

При положительных массах и теплоёмкостях конечная температура находится между начальными температурами. Более теплоёмкое тело сильнее влияет на результат. Теплоёмкость тела \(C=cm\) зависит и от вещества, и от массы; её единица — Дж/°C.

Пример 1. Смешивание воды

Смешали 200 г воды при 80 °C и 300 г воды при 20 °C. Найдём температуру смеси, пренебрегая нагреванием сосуда и потерями.

Массы: \(m_{\text{г}}=0{,}2\ \text{кг}\), \(m_{\text{х}}=0{,}3\ \text{кг}\). Для обеих порций \(c=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})\):

\[4200\cdot0{,}2(80-t)=4200\cdot0{,}3(t-20).\]

Удельную теплоёмкость можно сократить, поскольку смешивают одно вещество:

\[16-0{,}2t=0{,}3t-6,\]

\[22=0{,}5t,\qquad t=44\ ^\circ\text{C}.\]

Проверим энергию:

\[Q_{\text{отд}}=4200\cdot0{,}2\cdot36=30\,240\ \text{Дж},\]

\[Q_{\text{пол}}=4200\cdot0{,}3\cdot24=30\,240\ \text{Дж}.\]

Ответ: 44 °C. Это меньше среднего арифметического 50 °C: холодной воды больше. Среднее арифметическое подходит только при равных теплоёмкостях двух порций.

Пример 2. Металл в воде

В 200 г воды при 20 °C опустили медную деталь массой 100 г при 100 °C. Примем \(c_{\text{меди}}=400\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})\). Потерями и нагреванием сосуда пренебрежём.

\[400\cdot0{,}1(100-t)=4200\cdot0{,}2(t-20),\]

\[4000-40t=840t-16\,800,\]

\[t=\frac{20\,800}{880}\approx23{,}6\ ^\circ\text{C}.\]

Ответ: примерно 23,6 °C. Температура близка к начальной температуре воды: теплоёмкость воды в этой задаче 840 Дж/°C, а детали — только 40 Дж/°C. Высокая начальная температура детали сама по себе не означает большой запас передаваемой энергии.

Пример 3. Сколько нужно горячей воды

К 300 г воды при 20 °C добавляют воду при 80 °C. Какую массу горячей воды нужно взять, чтобы получить 40 °C?

\[cm_{\text{г}}(80-40)=c\cdot0{,}3(40-20),\]

\[40m_{\text{г}}=6,\qquad m_{\text{г}}=0{,}15\ \text{кг}=150\ \text{г}.\]

Ответ: 150 г. Горячая вода охлаждается на 40 °C, холодная нагревается на 20 °C, поэтому горячей воды требуется вдвое меньше.

Сосуд и окружающая среда

В реальном опыте энергия может нагревать сосуд и уходить в окружающую среду. Например, если горячую воду смешивают с холодной в сосуде, который сначала имеет температуру холодной воды, то:

\[Q_{\text{горячей воды}}=Q_{\text{холодной воды}}+Q_{\text{сосуда}}+Q_{\text{потерь}}.\]

Для сосуда \(Q_{\text{сосуда}}=c_{\text{с}}m_{\text{с}}(t-t_{\text{х}})\). В таком случае температура обычно получается ниже расчёта для двух порций воды без сосуда и потерь. Если окружающая среда теплее системы, она может, наоборот, передавать системе энергию: направление внешнего теплообмена нужно определять по условию.

Для опытов используют калориметр — сосуд, позволяющий уменьшить теплообмен с окружающей средой. Он не устраняет потери полностью. Все приведённые выше числа — условия учебных задач, а не результаты измерений.

Как решать задачи

Перечислите тела, участвующие в теплообмене, и условия, которыми разрешено пренебречь.
Определите, какие тела охлаждаются, а какие нагреваются.
Переведите массы в килограммы и обозначьте общую конечную температуру.
Для каждого тела запишите количество отданной или полученной теплоты.
Составьте баланс, решите уравнение и проверьте единицы.
Проверьте, находится ли температура между начальными значениями и разумен ли результат.

Частые ошибки: считать конечную температуру средним арифметическим при любых массах; сокращать разные удельные теплоёмкости; брать начальную температуру вместо её изменения; забывать о сосуде, если его нагревание требуется учесть.

Главное

При теплообмене энергия самопроизвольно переходит от горячего тела к холодному. В тепловом равновесии температуры одинаковы. Для изолированной системы количество отданной теплоты равно количеству полученной. Формулы \(Q=cm\Delta t\) применяют к нагреванию и охлаждению без изменения агрегатного состояния.

Проверь себя

В задачах 3–7 и 9 потери и нагревание сосуда не учитывай. Используй \(c_{\text{воды}}=4200\) и \(c_{\text{меди}}=400\) Дж/(кг·°C).

В какую сторону идёт самопроизвольный теплообмен? Что изменится при достижении равновесия?
Почему равные температуры не означают равенства внутренних энергий тел?
Смешали равные массы воды при 60 и 20 °C. Найди температуру смеси.
Смешали 100 г воды при 90 °C и 200 г воды при 30 °C. Найди температуру смеси.
К 500 г воды при 20 °C добавляют воду при 80 °C. Сколько горячей воды нужно для получения 40 °C?
Медная деталь массой 200 г при 100 °C помещена в 100 г воды при 20 °C. Найди температуру равновесия.
Два тела имеют одинаковые массы, но разные удельные теплоёмкости. Можно ли всегда находить конечную температуру как среднее арифметическое начальных?
Зачем в опыте учитывать теплоёмкость сосуда? Когда ею можно пренебречь?
В задаче 4 ученик получил 100 °C. Объясни, как без повторного расчёта обнаружить ошибку.
Чем отличаются равенства \(Q_{\text{отд}}=Q_{\text{пол}}\) и \(Q_1+Q_2=0\)?

Ответы для самопроверки

1. От более горячего тела к более холодному. При равновесии температуры становятся одинаковыми и результирующая передача энергии из-за их разности прекращается; тепловое движение частиц сохраняется.

Внутренняя энергия зависит также от количества вещества, его состава и состояния. Например, у разных масс воды при одинаковой температуре разные внутренние энергии.
\(t=(60+20)/2=40\ ^\circ\text{C}\), поскольку массы и удельные теплоёмкости равны.
\(t=(0{,}1\cdot90+0{,}2\cdot30)/0{,}3=50\ ^\circ\text{C}\).
\(m_{\text{г}}=0{,}5(40-20)/(80-40)=0{,}25\ \text{кг}=250\ \text{г}\).
\(80(100-t)=420(t-20)\); \(16\,400=500t\); \(t=32{,}8\ ^\circ\text{C}\).
Нет. При разных начальных температурах среднее арифметическое получается при равных теплоёмкостях \(c_1m_1=c_2m_2\); равенства масс недостаточно.
Сосуд тоже получает или отдаёт энергию. Его влиянием можно пренебречь, если это разрешено условием или его теплоёмкость мала по сравнению с теплоёмкостями участвующих тел.
В изолированной системе без фазовых переходов температура смеси должна быть между 30 и 90 °C. Значение 100 °C этому противоречит.
В первом равенстве обе величины положительны. Во втором полученная теплота положительна, отданная отрицательна; их сумма равна нулю. Физическое содержание одинаково.

Домашнее задание по тематическому плану: §12.