Физика 9. Центростремительное ускорение

Автомобиль проходит поворот, сохраняя показание спидометра. Кончик стрелки часов движется по окружности с постоянной быстротой. Хотя модуль скорости не меняется, направление движения непрерывно изменяется. Значит, в обоих случаях есть ускорение.

Почему постоянная быстрота не означает отсутствие ускорения

Скорость — векторная величина: у неё есть модуль и направление. При движении по окружности вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности в сторону движения.

Ускорение характеризует изменение вектора скорости:

\[\vec a_{\text{ср}} = \frac{\Delta\vec v}{\Delta t}, \qquad \Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1.\]

Вектор скорости может изменяться из-за изменения модуля, направления или обоих одновременно. Поэтому на повороте ускорение возникает и тогда, когда модуль скорости постоянен.

Представим движение по окружности против часовой стрелки. В правой точке окружности скорость направлена вверх, а в верхней точке — влево. Модули скоростей могут быть одинаковыми, но сами векторы различаются.

Направление центростремительного ускорения

При равномерном движении по окружности мгновенное ускорение направлено от положения тела к центру окружности. Такое ускорение называют центростремительным.

Положение тела на окружности	Направление центростремительного ускорения
Правая точка	Влево, к центру
Верхняя точка	Вниз, к центру
Левая точка	Вправо, к центру
Нижняя точка	Вверх, к центру

В каждой точке векторы мгновенной скорости и центростремительного ускорения перпендикулярны. Скорость направлена по касательной, ускорение — по радиусу к центру.

Направление ускорения непрерывно меняется вместе с положением тела. При равномерном движении по окружности постоянен модуль ускорения, а не его вектор.

Центростремительное ускорение не означает, что тело обязательно приближается к центру. При движении по окружности расстояние до центра постоянно. Направленное к центру ускорение непрерывно поворачивает вектор скорости.

Формула центростремительного ускорения

Модуль центростремительного ускорения:

\[a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R},\]

где \(v\) — модуль линейной скорости, \(R\) — радиус окружности. Скорость подставляют в м/с, радиус — в метрах. Ускорение получают в м/с².

Проверка единиц:

\[[a_{\text{ц}}] = \frac{(\text{м}/\text{с})^2}{\text{м}} = \frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\]

Формула описывает ускорение, связанное с изменением направления скорости. При равномерном движении по окружности оно является полным ускорением тела. Если модуль скорости тоже меняется, появляется дополнительное ускорение по касательной; полное ускорение тогда может быть направлено не к центру.

Откуда берётся эта зависимость

За короткий промежуток времени тело поворачивается на небольшой угол. На такой же угол поворачивается его вектор скорости. Для равномерного движения модули начальной и конечной скоростей равны.

Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой между положениями тела, подобен треугольнику, образованному векторами скоростей и их разностью. Поэтому:

\[\frac{|\Delta\vec v|}{v} = \frac{d}{R},\]

где \(d\) — длина хорды между двумя близкими положениями. При очень малом промежутке времени хорда почти равна пройденной дуге: \(d \approx v\Delta t\). Тогда:

\[\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} \approx \frac{v^2}{R}.\]

При уменьшении промежутка времени получаем формулу мгновенного центростремительного ускорения. Разность близких векторов скорости направляется к центру окружности.

Как ускорение зависит от скорости и радиуса

В формуле скорость возводится в квадрат. Поэтому при неизменном радиусе удвоение скорости увеличивает ускорение в четыре раза, а утроение — в девять раз.

Изменение условия	Как меняется \(a_{\text{ц}}\)
Скорость увеличили в 2 раза, радиус сохранили	Увеличивается в 4 раза
Скорость уменьшили в 2 раза, радиус сохранили	Уменьшается в 4 раза
Радиус увеличили в 2 раза, скорость сохранили	Уменьшается в 2 раза
Радиус уменьшили в 2 раза, скорость сохранили	Увеличивается в 2 раза

При одинаковой линейной скорости более крутой поворот, то есть поворот меньшего радиуса, требует большего ускорения. Здесь существенно условие одинаковой скорости. Если сохранять угловую скорость, зависимость от радиуса будет другой.

Пример 1. Движение по окружности

Тело движется по окружности радиусом 2 м с постоянной скоростью 4 м/с. Найдём ускорение:

\[a_{\text{ц}} = \frac{4^2}{2} = 8\ \text{м}/\text{с}^2.\]

Ответ: модуль ускорения равен 8 м/с²; ускорение направлено к центру.

Пример 2. Поворот автомобиля

Автомобиль движется со скоростью 36 км/ч по дуге окружности радиусом 50 м.

Сначала переведём скорость:

\[v = \frac{36}{3{,}6} = 10\ \text{м}/\text{с}.\]

Теперь вычислим ускорение:

\[a_{\text{ц}} = \frac{10^2}{50} = 2\ \text{м}/\text{с}^2.\]

Если скорость на том же повороте увеличить до 72 км/ч, то \(v = 20\ \text{м}/\text{с}\) и:

\[a_{\text{ц}} = \frac{20^2}{50} = 8\ \text{м}/\text{с}^2.\]

Скорость удвоилась, а необходимое ускорение увеличилось в четыре раза. Это одна из причин, по которым перед крутым поворотом уменьшают скорость.

Формулы через период, частоту и угловую скорость

За один оборот тело проходит путь \(2\pi R\). Если период обращения равен \(T\), то:

\[v = \frac{2\pi R}{T}.\]

Подставляя в формулу ускорения, получаем:

\[a_{\text{ц}} = \frac{4\pi^2R}{T^2}.\]

Частота обращения \(\nu = 1/T\), поэтому:

\[a_{\text{ц}} = 4\pi^2\nu^2R.\]

Так как \(v = \omega R\), через угловую скорость ускорение выражается следующим образом:

\[a_{\text{ц}} = \omega^2R.\]

Что известно в задаче	Удобная формула
Линейная скорость и радиус	\(a_{\text{ц}} = v^2/R\)
Период и радиус	\(a_{\text{ц}} = 4\pi^2R/T^2\)
Частота и радиус	\(a_{\text{ц}} = 4\pi^2\nu^2R\)
Угловая скорость и радиус	\(a_{\text{ц}} = \omega^2R\)

В расчётах период берут в секундах, частоту — в оборотах в секунду, или герцах, угловую скорость — в рад/с. Частоту, заданную в оборотах в минуту, сначала делят на 60.

Пример 3. Ускорение через период

Точка движется по окружности радиусом 0,5 м, совершая оборот за 2 с:

\[a_{\text{ц}} = \frac{4\pi^2\cdot0{,}5}{2^2} = \frac{\pi^2}{2} \approx 4{,}9\ \text{м}/\text{с}^2.\]

Ответ: приблизительно 4,9 м/с², к центру окружности.

Что заставляет тело поворачивать

Ускорение возникает вследствие действия сил. Для равномерного движения по окружности равнодействующая сил направлена к центру и удовлетворяет второму закону Ньютона:

\[F_{\text{рез}} = ma_{\text{ц}} = \frac{mv^2}{R}.\]

«Центростремительная сила» — название роли равнодействующей или её направленной к центру составляющей, а не особый новый вид силы. В разных ситуациях эту роль выполняют разные взаимодействия: натяжение нити, сила трения, сила тяготения или их сочетание с другими силами.

Если взаимодействие, обеспечивающее поворот, прекращается, тело не продолжает двигаться по прежней окружности. Его скорость в момент прекращения направлена по касательной. При отсутствии других сил дальнейшее движение будет прямолинейным и равномерным по этой касательной; при наличии других сил траектория изменится под их действием.

Как решать задачи

Определите радиус окружности и данные о движении.
Переведите величины в согласованные единицы: метры, секунды, м/с.
Выберите формулу по известным величинам.
Выполните расчёт и укажите единицу м/с².
Если требуется направление, укажите: к центру окружности.

Типичные ошибки: считать ускорение нулевым при постоянном модуле скорости, направлять его по касательной, подставлять диаметр вместо радиуса или забывать возвести скорость в квадрат. Диаметр вдвое больше радиуса: \(R = D/2\).

Что важно запомнить

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но её направление меняется. Поэтому тело имеет центростремительное ускорение \(a_{\text{ц}} = v^2/R\). Оно направлено к центру и перпендикулярно мгновенной скорости. При постоянном радиусе ускорение пропорционально квадрату скорости; при постоянной линейной скорости оно обратно пропорционально радиусу.

Проверь себя

Почему при постоянном показании спидометра на повороте автомобиль может иметь ускорение?
Тело движется против часовой стрелки и находится в верхней точке окружности. Куда направлены скорость и центростремительное ускорение?
Найди ускорение при \(v = 6\ \text{м}/\text{с}\) и \(R = 3\ \text{м}\).
Автомобиль движется со скоростью 54 км/ч по окружности радиусом 75 м. Найди центростремительное ускорение.
Как изменится ускорение, если скорость увеличить в 3 раза при прежнем радиусе?
Как изменится ускорение, если радиус увеличить в 4 раза при прежней линейной скорости?
Точка движется по окружности радиусом 1 м с периодом 2 с. Найди ускорение, приняв \(\pi^2 \approx 9{,}87\).
Угловая скорость точки равна 4 рад/с, радиус — 0,25 м. Найди ускорение.
Центростремительное ускорение равно 8 м/с², скорость — 4 м/с. Найди радиус окружности.
Точка на ободе колеса вращается с частотой 60 оборотов в минуту. Радиус колеса — 0,2 м. Найди ускорение.
Почему фраза «ускорение к центру обязательно уменьшает расстояние до центра» неверна?

Ответы для самопроверки

1. Спидометр показывает модуль скорости. На повороте меняется направление вектора скорости, поэтому есть ускорение.

Скорость направлена влево по касательной, а центростремительное ускорение — вниз, к центру.
\(a_{\text{ц}} = 6^2/3 = 12\ \text{м}/\text{с}^2\).
\(v = 54/3{,}6 = 15\ \text{м}/\text{с}\); \(a_{\text{ц}} = 15^2/75 = 3\ \text{м}/\text{с}^2\).
Увеличится в 9 раз, поскольку скорость входит в формулу в квадрате.
Уменьшится в 4 раза: при неизменной линейной скорости ускорение обратно пропорционально радиусу.
\(a_{\text{ц}} = 4\pi^2\cdot1/2^2 = \pi^2 \approx 9{,}87\ \text{м}/\text{с}^2\).
\(a_{\text{ц}} = \omega^2R = 4^2\cdot0{,}25 = 4\ \text{м}/\text{с}^2\).
\(R = v^2/a_{\text{ц}} = 4^2/8 = 2\ \text{м}\).
\(\nu = 60/60 = 1\ \text{Гц}\); \(a_{\text{ц}} = 4\pi^2\cdot1^2\cdot0{,}2 \approx 7{,}9\ \text{м}/\text{с}^2\).
При равномерном движении по окружности центростремительное ускорение меняет направление скорости; радиус и расстояние до центра остаются постоянными.

Домашнее задание по тематическому плану: §9, 20.