Физика 9. Сила упругости. Закон Гука

Если растянуть пружину, она будет тянуть руки друг к другу. Если сжать её, она станет раздвигать руки. Натянутая тетива лука толкает стрелу, а прогнувшаяся доска действует на стоящего на ней человека. Во всех этих случаях тело деформировано и возникает сила упругости.

Что такое деформация

Деформация — изменение формы или размеров тела. Пружину можно растянуть или сжать, линейку — согнуть, проволоку — скрутить. Даже твёрдый стол немного деформируется под тяжестью лежащей на нём книги, хотя глазом это обычно незаметно.

Деформации бывают упругими и пластическими.

При упругой деформации тело восстанавливает первоначальную форму и размеры после прекращения внешнего воздействия. Так ведёт себя пружина при небольшом растяжении.

При пластической деформации изменения сохраняются после прекращения воздействия. Например, смятый кусок пластилина сам не возвращается к прежней форме.

Одно и то же тело может вести себя по-разному: слегка растянутая пружина восстанавливает длину, а слишком сильно растянутая может остаться удлинённой. Поэтому нельзя считать любую деформацию пружины упругой.

Почему возникает сила упругости

Частицы вещества взаимодействуют друг с другом. Когда тело деформируется, изменяются расстояния между частицами и их взаимное расположение. Возникающие при этом силы стремятся восстановить исходное состояние тела. На уровне целого тела это проявляется как сила упругости.

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная в сторону восстановления его первоначальной формы и размеров.

Рассмотрим пружину, один конец которой закреплён, а другой соединён с тележкой. Если оттянуть тележку от места, где пружина не деформирована, растянутая пружина потянет тележку обратно. Если придвинуть тележку к закреплённому концу и сжать пружину, пружина будет отталкивать её от него.

Таким образом, сила пружины направлена противоположно смещению её конца от положения без деформации. Она не обязательно направлена противоположно скорости тела: когда тележка возвращается к исходному положению, сила и скорость могут быть направлены одинаково.

При изображении силы важно указать, на какое тело она действует. Стрелку силы пружины на тележку начинают на тележке, в месте соединения с пружиной. Сила тележки на пружину приложена уже к другому телу.

Удлинение пружины

Пусть длина пружины без деформации равна \(l_0\), а после растяжения — \(l\). Её удлинение:

\[ \Delta l = l - l_0. \]

В законе Гука используется изменение длины, а не вся длина пружины. Если пружина имела длину 12 см, а после растяжения стала длиной 15 см, её удлинение равно 3 см.

Для расчётов в СИ изменение длины переводят в метры:

\[ 3\ \text{см} = 0{,}03\ \text{м}, \qquad 5\ \text{мм} = 0{,}005\ \text{м}. \]

При сжатии удобно использовать положительную величину сжатия \(\delta = l_0 - l\). Чтобы одной формулой описывать оба случая, обозначим через \(\delta\) модуль изменения длины:

\[ \delta = |l - l_0|. \]

Закон Гука

При небольших деформациях пружины модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения её длины:

\[ F_{\text{упр}} = k\delta. \]

Это соотношение называют законом Гука. При растяжении его часто записывают в виде \(F_{\text{упр}} = k\Delta l\), где \(\Delta l\) — положительное удлинение.

Коэффициент \(k\) называется жёсткостью пружины. Из закона Гука:

\[ k = \frac{F_{\text{упр}}}{\delta}. \]

Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр, Н/м. Жёсткость 200 Н/м означает, что в области применимости закона Гука каждому сантиметру деформации соответствует сила упругости 2 Н. Это не означает, что такую пружину обязательно можно растянуть на целый метр.

Чем больше жёсткость, тем большая сила требуется для одинакового растяжения или сжатия. Жёсткость зависит от материала, размеров и устройства пружины. Она не равна массе пружины и не измеряется в ньютонах.

При постоянной жёсткости увеличение деформации в два раза увеличивает силу упругости в два раза. График зависимости модуля силы от величины деформации в области действия закона Гука — прямая, проходящая через начало координат. Если масштабы осей одинаковы для сравниваемых графиков, более крутая прямая соответствует большей жёсткости.

Как учесть направление силы

Пусть ось направлена вправо, а координата \(x\) показывает смещение конца пружины от положения без деформации. Проекция силы пружины на эту ось:

\[ F_x = -kx. \]

Знак «минус» показывает противоположность направлений силы и смещения. При \(x > 0\) сила направлена влево; при \(x < 0\) — вправо. Модуль силы не бывает отрицательным: для него используется формула \(F_{\text{упр}} = k|x|\).

Когда закон Гука применим

Закон Гука описывает линейный участок зависимости силы от деформации. При слишком большом растяжении пропорциональность нарушается; возможны остаточная деформация и разрушение пружины.

Упругая деформация не всегда означает точное выполнение закона Гука. Например, резиновый шнур может восстанавливать форму, но зависимость силы от его удлинения не обязана быть линейной. В школьной задаче формулу применяют, если пружина считается идеальной или указано, что закон Гука выполняется.

Разобранные примеры

1. Найти силу по изменению длины

Пружина жёсткостью 150 Н/м имеет длину 10 см без деформации. Её растянули до 14 см. Найдём модуль силы упругости.

Сначала определим удлинение и переведём его в метры:

\[ \Delta l = 14\ \text{см} - 10\ \text{см} = 4\ \text{см} = 0{,}04\ \text{м}. \]

По закону Гука:

\[ F_{\text{упр}} = 150\ \text{Н/м} \cdot 0{,}04\ \text{м} = 6\ \text{Н}. \]

Пружина действует на прикреплённое тело силой 6 Н в сторону уменьшения растяжения.

2. Определить жёсткость

При сжатии пружины на 5 мм модуль силы упругости равен 3 Н. Определим жёсткость:

\[ \delta = 5\ \text{мм} = 0{,}005\ \text{м}, \]

\[ k = \frac{3\ \text{Н}}{0{,}005\ \text{м}} = 600\ \text{Н/м}. \]

Та же формула используется и при растяжении, и при сжатии; направление силы рассматривают отдельно.

3. Груз в покое на вертикальной пружине

К вертикальной пружине подвесили груз массой 200 г. После прекращения колебаний груз находится в покое. Жёсткость пружины равна 100 Н/м. Найдём удлинение, приняв \(g = 10\ \text{Н/кг}\) и пренебрегая массой пружины.

На груз действуют сила тяжести вниз и сила упругости вверх. В состоянии покоя они уравновешены:

\[ F_{\text{упр}} = mg. \]

Следовательно:

\[ k\Delta l = mg, \qquad \Delta l = \frac{mg}{k}. \]

Переведём массу в килограммы и вычислим:

\[ \Delta l = \frac{0{,}2\ \text{кг} \cdot 10\ \text{Н/кг}}{100\ \text{Н/м}} = 0{,}02\ \text{м} = 2\ \text{см}. \]

Равенство силы упругости и силы тяжести использовано именно потому, что груз находится в равновесии. Во время его колебаний эти силы обычно не равны по модулю.

Пружинный динамометр

Динамометр измеряет силу по деформации пружины. Чем больше измеряемая сила, тем больше удлинение. Шкалу прибора градуируют в ньютонах.

При измерении нужно проверить положение нуля без нагрузки, определить цену деления и дождаться установления показания. Нельзя превышать предел измерения: сильная деформация может изменить свойства пружины и нарушить точность прибора.

Реакция опоры и натяжение нити также связаны с деформацией. В простых задачах эти деформации часто не рассматривают явно: опору считают твёрдой, а нить — нерастяжимой. Это не означает отсутствия сил со стороны опоры или нити.

Краткий итог

Сила упругости возникает при деформации и стремится восстановить исходную форму и размеры тела. Для пружины в области действия закона Гука её модуль равен произведению жёсткости на величину изменения длины: \(F_{\text{упр}} = k\delta\). Жёсткость измеряется в Н/м, деформация — в метрах. В формулу подставляют изменение длины, а направление силы определяют отдельно.

Вопросы и задания

Что называют деформацией? Приведите примеры упругой и пластической деформаций.
Пружину растянули, затем отпустили, и она вернулась к исходной длине. Что можно сказать о деформации? Достаточно ли этого наблюдения, чтобы доказать выполнение закона Гука?
Изобразите силу пружины на тележку при растянутой и при сжатой пружине. Один конец пружины закреплён слева от тележки.
Почему сила упругости не всегда направлена противоположно скорости тела?
Пружина длиной 8 см растянута до 11 см. Определите её удлинение в метрах.
Жёсткость пружины равна 250 Н/м, удлинение — 2 см. Найдите модуль силы упругости.
При сжатии на 4 мм сила упругости равна 2 Н. Определите жёсткость пружины.
Пружина жёсткостью 300 Н/м растянута силой 9 Н и находится в равновесии. Найдите удлинение. Массой пружины пренебрегите.
Две пружины растянуты на одинаковую величину. Жёсткости равны 100 Н/м и 400 Н/м. Сравните модули сил упругости.
К вертикальной пружине жёсткостью 200 Н/м подвешен покоящийся груз массой 300 г. Найдите удлинение. Примите \(g = 10\ \text{Н/кг}\), массой пружины пренебрегите.
Для одной пружины измерены силы упругости 1 Н, 2 Н и 3 Н при удлинениях соответственно 1 см, 2 см и 3 см. Постройте график зависимости силы от удлинения и определите жёсткость на исследованном участке.
Ученик подставил в закон Гука полную длину растянутой пружины. Объясните ошибку. Какие две длины нужно измерить?

Домашнее задание

По тематическому плану: §17.