Сила тяжести и закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения
Что связывает мяч и Луну
Отпущенный мяч падает на Землю. Луна движется вокруг Земли. Оба движения связаны с гравитационным притяжением: тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу.
На уроке пройдём путь от общего закона притяжения к знакомому свободному падению:
массы и расстояние → сила тяготения → сила тяжести → ускорение свободного падения.
Главная задача — объяснить, почему Земля сильнее притягивает более массивное тело, но при свободном падении сообщает ему такое же ускорение.
Притяжение всегда взаимно
Земля притягивает мяч, а мяч притягивает Землю. Силы направлены навстречу друг другу вдоль линии, соединяющей центры тел.
По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Они действуют на разные тела, поэтому не уравновешивают друг друга на мяче.
Ускорения могут сильно различаться: по второму закону Ньютона \(a=F/m\). При одинаковой силе гораздо более массивная Земля получает гораздо меньшее ускорение.
Закон всемирного тяготения
Для двух материальных точек модуль силы притяжения равен:
Здесь \(m_1\) и \(m_2\) — массы тел в килограммах, \(r\) — расстояние между ними в метрах. Сила получается в ньютонах.
Гравитационная постоянная одинакова для всех пар тел:
Её малое значение объясняет, почему притяжение обычных предметов друг к другу трудно заметить. Притяжение Земли существенно благодаря её огромной массе.
Как меняется сила
Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния.
| Что изменили | Как изменилась сила |
|---|---|
| Одну массу увеличили вдвое | Увеличилась вдвое |
| Обе массы увеличили вдвое | Увеличилась в четыре раза |
| Расстояние увеличили вдвое | Уменьшилась в четыре раза |
| Расстояние уменьшили втрое | Увеличилась в девять раз |
В каждой строке остальные величины сохранены. Перед вычислением полезно предсказать результат: удаление тел ослабляет притяжение, увеличение массы усиливает его.
Где измерять расстояние
Формула непосредственно описывает материальные точки. Протяжённые тела можно считать точками, если их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними.
Для неперекрывающихся тел со сферически симметричным распределением массы формула также верна: расстояние берут между центрами. Сферическая симметрия означает, что распределение массы одинаково во всех направлениях от центра.
В задачах Землю приближённо считают такой сферой. Для небольшого тела на высоте \(h\):
где \(R\) — радиус Земли. У поверхности \(h=0\), но \(r=R\).
Сила тяжести около Земли
В модели сферической Земли без учёта её вращения сила тяжести — сила притяжения тела к Земле. Она направлена к центру планеты; вблизи поверхности это направление называют вертикалью вниз.
Для тела массой \(m\) используем запись:
Величина \(g\) — модуль ускорения свободного падения в данном месте. У поверхности Земли \(g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\); для приближённых расчётов часто берут \(10\ \text{м/с}^2\).
Сила тяжести действует и на падающий мяч, и на неподвижную книгу. У книги её уравновешивает реакция стола.
Почему ускорение не зависит от массы тела
Пусть действует только притяжение Земли. По второму закону Ньютона и закону тяготения:
Масса падающего тела \(m\) сокращается. Более массивное тело притягивается сильнее, но для того же ускорения ему нужна пропорционально большая сила.
Поэтому в одном месте все свободно падающие тела имеют одинаковое ускорение. Различие падения пера и шарика в воздухе связано с дополнительной силой сопротивления. При её существенном влиянии падение уже нельзя считать свободным.
Не путайте большую и маленькую буквы
| Величина | Физический смысл | От чего зависит |
|---|---|---|
| \(G\) | Гравитационная постоянная | В законе Ньютона одинакова для всех тел |
| \(g\) | Ускорение свободного падения | От массы притягивающего тела и расстояния до его центра |
Единицы различны: для \(G\) — \(\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), для \(g\) — \(\text{м/с}^2\).
Из \(F_{\text{тяж}}=mg\) также следует \(g=F_{\text{тяж}}/m\). Поэтому \(g\) можно выражать в \(\text{Н/кг}\):
Около другой планеты значение \(g\) может быть иным; значение \(G\) сохраняется.
Дополнение: высота
Пусть Земля сферически симметрична, её вращение и притяжение других небесных тел не учитываются. Для точки снаружи Земли:
Здесь \(g_0\) — ускорение у поверхности в той же модели. Сравнивая выражения, получаем:
С высотой ускорение уменьшается. Если высота мала по сравнению с радиусом Земли, изменение невелико. Поэтому при падении с небольшой высоты \(g\) приближённо считают постоянным. Для глубин внутри Земли эту формулу не применяют.
Пример: сила тяжести
На книгу массой \(600\ \text{г}\) действует притяжение Земли. Найдём силу тяжести у поверхности, приняв \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Переведём массу в СИ:
Подставим в формулу:
Сила направлена вниз. Если книга лежит на столе, её ускорение равно нулю: стол действует вверх с такой же по модулю силой. Это не отменяет притяжения Земли.
Пример: притяжение двух шаров
Два шара со сферически симметричным распределением массы имеют массы \(100\ \text{кг}\) и \(200\ \text{кг}\). Их радиусы — по \(0{,}2\ \text{м}\), расстояние между центрами — \(2\ \text{м}\). Найдём силу их взаимного притяжения.
Шары не перекрываются; для расчёта используем расстояние между центрами:
Единицы массы и расстояния сокращаются, остаются ньютоны. Сила очень мала. Каждый шар притягивает другой с таким модулем силы; складывать эти силы для одного шара нельзя.
Почему спутник продолжает падать
Спутник притягивается к Земле и получает направленное к ней ускорение. При подходящей начальной скорости его траектория огибает планету: пока спутник падает, поверхность Земли «уходит» из-под него из-за её кривизны.
Если сопротивлением атмосферы и другими воздействиями можно пренебречь, такое движение является свободным падением, хотя траектория не вертикальна.
Притяжение само изменяет направление скорости спутника. Дополнительная особая «центростремительная сила» не нужна: центростремительной называют роль уже действующей силы тяготения при движении по окружности.
Три связи, которые нужно запомнить
Для двух материальных точек или неперекрывающихся сферически симметричных тел:
Для силы тяжести в данном месте:
Для свободного падения снаружи сферической Земли без учёта её вращения:
Сила зависит от массы падающего тела, ускорение — нет. Перед подстановкой проверяйте модель, расстояние между центрами и единицы СИ.
Домашнее задание: §15–16.
Вопросы для самопроверки
- Почему силы притяжения мяча и Земли не уравновешивают друг друга на мяче?
- Чем различаются \(G\) и \(g\) по смыслу и единицам?
- Почему в законе тяготения для тела у поверхности Земли нельзя подставить нулевую высоту вместо расстояния?
- Как объяснить одинаковое ускорение свободного падения тел разной массы через второй закон Ньютона?
- Почему движущийся по орбите спутник можно считать свободно падающим телом?
Самостоятельная работа
- Найдите силу тяжести, действующую на рюкзак массой \(3{,}5\ \text{кг}\) у поверхности Земли. Примите \(g=10\ \text{м/с}^2\); укажите направление силы.
- Массу одного из двух притягивающихся тел увеличили втрое, а расстояние между ними — вдвое. Как изменилась сила? Считайте тела материальными точками.
- Два неперекрывающихся сферически симметричных шара массами по \(50\ \text{кг}\) находятся на расстоянии \(1\ \text{м}\) между центрами. Вычислите силу взаимного притяжения, используя приведённое выше значение \(G\).
- Дополнение. Тело находится на высоте \(h=2R\) над сферической Землёй. Выразите его ускорение свободного падения через \(g_0\). Вращением Земли и притяжением других тел пренебрегите.