Физика 9. Неравномерное прямолинейное движение

Автомобиль разгоняется после светофора, некоторое время едет с почти постоянной скоростью, а перед поворотом тормозит. За равные промежутки времени он проходит разные пути. Такое движение нельзя полностью описать одним постоянным значением скорости.

Равномерное и неравномерное движение

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.

При неравномерном движении скорость изменяется: за равные промежутки времени тело проходит разные пути или меняет направление движения. Если траектория остаётся прямой, движение называют неравномерным прямолинейным.

Пусть положение тела на координатной оси задаётся координатой \(x\). Перемещение за промежуток времени \(\Delta t=t_2-t_1\) равно

\[ \Delta x=x_2-x_1. \]

Знак перемещения показывает направление: при движении в сторону возрастания координаты \(\Delta x>0\), а в противоположную сторону \(\Delta x<0\).

Средняя путевая скорость

Чтобы оценить быстроту движения на всём участке, используют среднюю путевую скорость:

\[ v_{\text{ср.пут}}=\frac{s}{\Delta t}, \]

где \(s\) — весь пройденный путь, а \(\Delta t\) — всё время движения, включая остановки, если они входили в рассматриваемый промежуток.

Средняя путевая скорость — скалярная величина. Она не показывает направление движения и не обязана совпадать со средним арифметическим скоростей на отдельных участках.

Например, если половину пути автомобиль проехал со скоростью \(40\) км/ч, а вторую половину — со скоростью \(60\) км/ч, средняя скорость не равна \(50\) км/ч. На медленном участке автомобиль затратил больше времени.

Средняя скорость перемещения

Средняя проекция скорости на выбранную ось определяется перемещением:

\[ v_{x\,\text{ср}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}. \]

Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если тело вернулось в начальную точку, перемещение равно нулю, поэтому средняя скорость перемещения равна нулю, хотя путь и средняя путевая скорость не равны нулю.

Величина	Формула	Что учитывает
Средняя путевая скорость	\(s/\Delta t\)	весь пройденный путь
Средняя скорость перемещения	\(\Delta x/\Delta t\)	изменение координаты и направление

При прямолинейном движении без изменения направления путь равен модулю перемещения, поэтому числовые значения двух средних скоростей совпадают по модулю.

Мгновенная скорость

Средняя скорость описывает движение за конечный промежуток времени, но не показывает, как быстро тело двигалось в конкретный момент.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

Показание спидометра автомобиля — приблизительное значение модуля мгновенной скорости. Чтобы найти её математически, рассматривают перемещение за очень малый промежуток времени:

\[ v_x=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}. \]

На графике зависимости координаты от времени \(x(t)\) проекция мгновенной скорости определяется наклоном касательной к графику. Чем круче график, тем больше модуль скорости. Горизонтальный участок означает остановку, а отрицательный наклон — движение в сторону убывания координаты.

Графическое описание

Для равномерного движения график \(x(t)\) является прямой линией: её наклон постоянен. При неравномерном движении график обычно криволинейный, потому что его наклон изменяется.

График модуля скорости \(v(t)\) также помогает анализировать движение:

возрастающий график означает увеличение скорости;
убывающий график означает уменьшение скорости;
горизонтальный участок соответствует постоянной скорости;
площадь под графиком \(v(t)\) при движении в одном направлении численно равна пройденному пути.

Единицы скорости

В СИ скорость измеряют в метрах в секунду. Для перевода используют соотношение

\[ 1\text{ м/с}=3{,}6\text{ км/ч}. \]

Чтобы перевести километры в час в метры в секунду, значение делят на \(3{,}6\). Для обратного перевода умножают на \(3{,}6\).

Разобранные примеры

Пример 1. Движение с остановкой

Автобус прошёл \(12\) км за \(20\) минут, затем стоял \(10\) минут и прошёл ещё \(18\) км за \(30\) минут. Полный путь равен \(30\) км, полное время — \(60\) минут, или \(1\) час:

\[ v_{\text{ср.пут}}=\frac{30\text{ км}}{1\text{ ч}}=30\text{ км/ч}. \]

Остановку нельзя исключать, потому что она входила во время поездки.

Пример 2. Возвращение назад

Турист прошёл \(300\) м на восток, затем \(100\) м на запад за общее время \(200\) с. Путь равен \(400\) м, а перемещение — \(200\) м на восток.

\[ v_{\text{ср.пут}}=\frac{400}{200}=2\text{ м/с}, \]

\[ v_{x\,\text{ср}}=\frac{200}{200}=1\text{ м/с} \]

при положительном направлении оси на восток.

Пример 3. Равные пути с разными скоростями

Половину пути тело двигалось со скоростью \(4\) м/с, вторую половину — со скоростью \(6\) м/с. Обозначим каждую половину пути через \(l\). Тогда

\[ v_{\text{ср}}=\frac{2l}{l/4+l/6}=\frac{2}{1/4+1/6}=4{,}8\text{ м/с}. \]

Среднее арифметическое \(5\) м/с здесь неверно.

Главное

При неравномерном движении скорость изменяется.
Средняя путевая скорость равна отношению всего пути ко всему времени движения.
Средняя скорость перемещения определяется отношением перемещения ко времени и учитывает направление.
Мгновенная скорость характеризует движение в конкретный момент.
На графике \(x(t)\) скорость связана с наклоном графика.
Среднее арифметическое скоростей допустимо не всегда; сначала нужно найти полный путь и полное время.

Вопросы и задания

1. Основные понятия

Какое движение называют неравномерным?
Чем средняя путевая скорость отличается от средней скорости перемещения?
Что показывает мгновенная скорость?
Что означает горизонтальный участок графика \(x(t)\)?

2. Средняя скорость поездки

Велосипедист прошёл \(6\) км за \(20\) минут, отдыхал \(10\) минут и затем прошёл \(9\) км за \(30\) минут. Найдите среднюю путевую скорость за всё время.

3. Путь и перемещение

Тело прошло по прямой \(80\) м вправо, затем \(30\) м влево за \(25\) с. Найдите путь, перемещение, среднюю путевую скорость и среднюю проекцию скорости. Ось направлена вправо.

4. Перевод единиц

Переведите: а) \(72\) км/ч в м/с; б) \(15\) м/с в км/ч.

5. Равные участки пути

Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью \(30\) км/ч, вторую — со скоростью \(60\) км/ч. Найдите среднюю скорость движения.

6. Анализ графика

Координата тела сначала возрастает, затем некоторое время остаётся постоянной, после чего уменьшается. Опишите движение и знаки проекции скорости на каждом участке.

Ответы для самопроверки

Задание 2: путь \(15\) км, время \(60\) минут, средняя скорость \(15\) км/ч.

Задание 3: путь \(110\) м; перемещение \(50\) м; средняя путевая скорость \(4{,}4\) м/с; средняя проекция скорости \(2\) м/с.

Задание 4: а) \(20\) м/с; б) \(54\) км/ч.

Задание 5: \(v_{\text{ср}}=2/(1/30+1/60)=40\) км/ч.

Задание 6: сначала тело движется в положительном направлении, затем покоится, после чего движется в отрицательном направлении; проекция скорости соответственно положительна, равна нулю и отрицательна.