Физика 9. Равномерное движение по окружности: период, частота, линейная и угловая скорости

Главная мысль урока

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги окружности. Модуль скорости при таком движении постоянен, но направление скорости всё время меняется. Поэтому движение по окружности не является равномерным прямолинейным.

Примеры: кончик стрелки часов, кабина колеса обозрения, диск проигрывателя, колесо велосипеда при постоянном вращении.

Период и частота обращения

Период обращения \(T\) — время одного полного оборота.

Единица периода в СИ — секунда:

\[[T] = \text{с}.\]

Если за время \(t\) тело совершило \(N\) оборотов, период равен:

\[T = \frac{t}{N}.\]

Частота обращения \(\nu\) — число оборотов за единицу времени.

\[\nu = \frac{N}{t}.\]

Единица частоты — герц:

\[[\nu] = \text{Гц} = \text{с}^{-1}.\]

Один герц означает один оборот в секунду. Период и частота связаны обратной зависимостью:

\[\nu = \frac{1}{T}, \qquad T = \frac{1}{\nu}.\]

Чем чаще тело совершает обороты, тем меньше времени требуется на один оборот.

Линейная скорость

При одном обороте тело проходит длину окружности:

\[l = 2\pi R,\]

где \(R\) — радиус окружности.

Линейная скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени. За один период оно проходит одну окружность, поэтому:

\[v = \frac{2\pi R}{T}.\]

С учётом частоты формулу можно записать так:

\[v = 2\pi R\nu.\]

Линейная скорость направлена по касательной к окружности в данной точке. Например, если отпустить камень, который вращают на верёвке, он полетит не к центру, а по направлению касательной в момент отпускания.

Угловая скорость

За полный оборот радиус, проведённый к телу, поворачивается на угол \(2\pi\) радиан. Угловая скорость \(\omega\) показывает, на какой угол поворачивается радиус за единицу времени:

\[\omega = \frac{\varphi}{t}.\]

При равномерном движении за один период:

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu.\]

Единица угловой скорости — радиан в секунду:

\[[\omega] = \text{рад/с}.\]

Линейная и угловая скорости связаны формулой:

\[v = \omega R.\]

У всех точек жёстко вращающегося диска одинаковы \(T\), \(\nu\) и \(\omega\), но линейная скорость больше у точки, расположенной дальше от оси: чем больше \(R\), тем больше \(v\).

Почему скорость меняется, хотя движение равномерное

Слово «равномерное» здесь относится к модулю скорости: за одинаковые интервалы времени тело проходит одинаковые дуги. Однако скорость — векторная величина. При движении по окружности её направление непрерывно меняется, поэтому у тела есть ускорение, направленное к центру окружности. Его называют центростремительным ускорением.

На этом уроке достаточно запомнить главное: центростремительное ускорение не «тянет» тело по касательной, а изменяет направление его скорости к центру.

Разобранные примеры

Пример 1. Период и частота

Колесо совершило \(120\) оборотов за \(60\ \text{с}\).

\[\nu = \frac{120}{60} = 2\ \text{Гц}.\]

Тогда:

\[T = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{с}.\]

Колесо делает два оборота за секунду, а один оборот занимает половину секунды.

Пример 2. Линейная скорость точки на ободе

Радиус колеса \(R=0{,}30\ \text{м}\), частота вращения \(\nu=2\ \text{Гц}\).

\[v = 2\pi R\nu = 2\pi\cdot0{,}30\cdot2 \approx 3{,}77\ \text{м/с}.\]

Пример 3. Сравнение точек диска

Две точки находятся на одном вращающемся диске: первая на расстоянии \(0{,}10\ \text{м}\) от оси, вторая — \(0{,}25\ \text{м}\). Их угловые скорости одинаковы. Линейная скорость второй точки в \(0{,}25/0{,}10=2{,}5\) раза больше, потому что она проходит за оборот более длинную окружность.

Задания

Вентилятор совершает \(180\) оборотов за \(1\) минуту. Найдите частоту и период обращения.
Колесо радиусом \(0{,}40\ \text{м}\) вращается с частотой \(5\ \text{Гц}\). Найдите линейную скорость точки на ободе. Ответ округлите до десятых.
Найдите угловую скорость тела, если период обращения \(T=4\ \text{с}\).
Две точки расположены на одном диске. Какая из них имеет большую линейную скорость: точка ближе к оси или точка у края? Объясните.
Куда направлена линейная скорость тела, движущегося по окружности: к центру, от центра или по касательной?
Почему движение по окружности нельзя назвать равномерным прямолинейным, даже если модуль скорости постоянен?

Ответы для самопроверки

1. \(t=60\ \text{с}\); \(\nu=180/60=3\ \text{Гц}\); \(T=1/3\ \text{с}\approx0{,}33\ \text{с}\).

\(v=2\pi R\nu=2\pi\cdot0{,}40\cdot5\approx12{,}6\ \text{м/с}\).
\(\omega=2\pi/T=2\pi/4=\pi/2\ \text{рад/с}\approx1{,}57\ \text{рад/с}\).
У точки у края: при одинаковой угловой скорости её радиус больше, а \(v=\omega R\).
По касательной к окружности в данной точке.
Направление вектора скорости непрерывно меняется; траектория не является прямой.

Итог

Период \(T\) — время одного оборота, частота \(\nu\) — число оборотов за секунду.
\(T=1/\nu\), \(\nu=1/T\).
Линейная скорость равна \(v=2\pi R/T=2\pi R\nu\) и направлена по касательной.
Угловая скорость равна \(\omega=2\pi/T=2\pi\nu\), а \(v=\omega R\).
При движении по окружности модуль скорости может быть постоянным, но направление скорости меняется.