Расчёт пути и времени движения

Зная скорость, можно узнать, какой путь тело пройдёт за определённое время. Можно решить и обратную задачу: сколько времени потребуется на заданный путь? Такие расчёты помогают оценить продолжительность поездки, выбрать время выхода из дома или сравнить движение разных тел.

В предыдущей теме мы определяли скорость равномерного движения. Теперь используем эту величину для расчёта пути и времени.

Три величины, описывающие движение

При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Например, игрушечный автомобиль со скоростью \(2\ \text{м/с}\) за каждую секунду проходит \(2\ \text{м}\). За две секунды он пройдёт \(4\ \text{м}\), за три — \(6\ \text{м}\).

Для расчётов нужны три величины:

Величина	Обозначение	Единица СИ
Путь	\(s\)	метр, м
Время движения	\(t\)	секунда, с
Скорость	\(v\)	метр в секунду, м/с

Путь — длина траектории, по которой двигалось тело. Если оно прошло до поворота и вернулось обратно, нужно учитывать оба участка. Расстояние между начальной и конечной точками при этом может оказаться нулевым, но пройденный путь не равен нулю.

Скорость равномерного движения находят по формуле

\[ v = \frac{s}{t}. \]

Из этой зависимости можно выразить любую из трёх величин, если известны две другие.

Как вычислить путь

Скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени. Поэтому для нахождения пути нужно умножить скорость на время:

\[ s = vt. \]

Если велосипедист равномерно движется со скоростью \(5\ \text{м/с}\), то за \(10\ \text{с}\) он проходит

\[ s = 5\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 10\ \text{с} = 50\ \text{м}. \]

Единицы времени сокращаются: метры в секунду, умноженные на секунды, дают метры. Это помогает проверить, правильно ли выбрана формула.

При неизменной скорости путь прямо пропорционален времени. Если время движения увеличилось в три раза, путь тоже увеличится в три раза. При одинаковом времени движения вдвое большая скорость даёт вдвое больший путь.

Пример: путь за несколько минут

Пешеход равномерно идёт со скоростью \(1{,}5\ \text{м/с}\). Какой путь он пройдёт за \(4\ \text{мин}\)?

Дано: \(v = 1{,}5\ \text{м/с}\), \(t = 4\ \text{мин}\). Найти \(s\).

Скорость выражена в метрах в секунду, поэтому время переводим в секунды:

\[ t = 4 \cdot 60 = 240\ \text{с}. \]

Подставляем согласованные значения в формулу:

\[ s = vt = 1{,}5\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 240\ \text{с} = 360\ \text{м}. \]

Ответ: пешеход пройдёт \(360\ \text{м}\). Проверка смысла: каждую минуту он проходит \(90\ \text{м}\), а за четыре минуты — в четыре раза больше.

Как вычислить время

Если известны путь и скорость, время находят делением пути на скорость:

\[ t = \frac{s}{v}. \]

Эта формула применяется при \(v > 0\). Например, тело должно пройти \(120\ \text{м}\) со скоростью \(3\ \text{м/с}\). За каждую секунду оно проходит три метра, поэтому потребуется

\[ t = \frac{120\ \text{м}}{3\ \text{м/с}} = 40\ \text{с}. \]

При одинаковом пути увеличение скорости уменьшает время движения. Если скорость увеличить вдвое, время сократится вдвое. Однако путь должен оставаться одним и тем же: нельзя сравнивать продолжительности разных поездок только по их скоростям.

Пример: продолжительность поездки

Автобус равномерно движется со скоростью \(60\ \text{км/ч}\). За какое время он пройдёт \(45\ \text{км}\)?

Дано: \(s = 45\ \text{км}\), \(v = 60\ \text{км/ч}\). Найти \(t\).

Путь выражен в километрах, а скорость — в километрах в час. Эти единицы согласованы: время получится в часах.

\[ t = \frac{s}{v} = \frac{45\ \text{км}}{60\ \text{км/ч}} = 0{,}75\ \text{ч}. \]

Переводим часы в минуты:

\[ t = 0{,}75 \cdot 60 = 45\ \text{мин}. \]

Ответ: \(45\ \text{мин}\). Для проверки умножим скорость на найденное время: за три четверти часа автобус проходит три четверти от \(60\ \text{км}\), то есть \(45\ \text{км}\).

Согласование единиц

Перед подстановкой чисел проверьте, в каких единицах записаны путь, время и скорость. Удобно использовать СИ, но иногда километры и часы позволяют выполнить расчёт проще.

Скорость	Время	Единица вычисленного пути
м/с	с	м
км/ч	ч	км
м/мин	мин	м

Если путь дан в метрах, а скорость — в метрах в секунду, вычисленное время получится в секундах. Если путь дан в километрах, а скорость — в километрах в час, время получится в часах.

Полезные соотношения:

\[ 1\ \text{км} = 1000\ \text{м}, \qquad 1\ \text{мин} = 60\ \text{с}, \qquad 1\ \text{ч} = 3600\ \text{с}. \]

Для перевода числового значения скорости из км/ч в м/с его делят на \(3{,}6\); при обратном переводе умножают на \(3{,}6\). Например,

\[ 36\ \text{км/ч} = 10\ \text{м/с}. \]

Десятичная доля часа отличается от числа минут. Например, \(0{,}2\ \text{ч}\) — это \(12\ \text{мин}\), поскольку в часе \(60\) минут. Нельзя читать эту запись как «20 минут».

Движение по участкам и остановки

Формула \(s = vt\) с одной постоянной скоростью описывает равномерное движение. Если скорость на разных участках различается, каждый участок рассчитывают отдельно, а затем складывают пути и времена.

Пример: поездка с остановкой

Велосипедист сначала ехал \(20\ \text{мин}\) со скоростью \(12\ \text{км/ч}\), затем отдыхал \(5\ \text{мин}\) и ещё \(10\ \text{мин}\) ехал со скоростью \(18\ \text{км/ч}\). Найдём общий путь и продолжительность поездки.

Время движения на каждом участке выражаем в часах:

\[ t_1 = \frac{20}{60}\ \text{ч} = \frac{1}{3}\ \text{ч}, \qquad t_2 = \frac{10}{60}\ \text{ч} = \frac{1}{6}\ \text{ч}. \]

Пути на участках:

\[ s_1 = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4\ \text{км}, \qquad s_2 = 18 \cdot \frac{1}{6} = 3\ \text{км}. \]

Общий путь равен сумме:

\[ s_{\text{общ}} = s_1 + s_2 = 7\ \text{км}. \]

За время отдыха велосипедист не проходил путь, но остановка входит в продолжительность всей поездки:

\[ t_{\text{общ}} = 20 + 5 + 10 = 35\ \text{мин}. \]

Ответ: общий путь — \(7\ \text{км}\), продолжительность поездки — \(35\ \text{мин}\), время движения без отдыха — \(30\ \text{мин}\).

Если известна средняя скорость за всю поездку, можно использовать \(s_{\text{общ}} = v_{\text{ср}}t_{\text{общ}}\). Важно, чтобы средняя скорость и время относились к одному и тому же промежутку, включая или исключая остановки одинаковым образом.

Порядок решения задачи

Установите, что требуется найти: путь, время или скорость. Запишите известные величины с единицами.
Проверьте условия: движение равномерное, задана средняя скорость или путь состоит из нескольких участков?
Выберите формулу и выразите искомую величину до подстановки чисел.
Согласуйте единицы. При необходимости переведите минуты в секунды или часы.
Подставьте значения, выполните вычисления и укажите единицу результата.
Проверьте ответ по смыслу и, если удобно, обратным расчётом.

Частая ошибка при расчёте пути — умножить скорость в м/с на время в минутах без перевода. При расчёте времени иногда делят скорость на путь вместо пути на скорость. Ещё одна ошибка — включить остановку в расчёт пути так, словно тело продолжало двигаться. Проверка единиц и условий помогает заметить такие ошибки.

Краткий итог

При равномерном движении путь вычисляют по формуле \(s = vt\), а время — по формуле \(t = s/v\). Перед расчётом единицы согласуют. При движении с разными скоростями на участках каждый участок рассматривают отдельно. Остановки увеличивают продолжительность поездки, но не добавляют пройденного пути.

Проверьте себя

Почему путь равномерного движения находят умножением скорости на время? Объясните на примере скорости \(4\ \text{м/с}\).
Что произойдёт с пройденным путём, если время равномерного движения увеличить втрое, сохранив скорость?
Как изменится время прохождения одного и того же пути, если скорость уменьшить вдвое?
В каких единицах получится время, если путь выражен в километрах, а скорость — в километрах в час?
Можно ли для поездки с остановкой умножить скорость движения на всё время поездки? Объясните условия, при которых такой расчёт допустим.

Упражнения

Игрушечная машинка равномерно движется со скоростью \(0{,}8\ \text{м/с}\). Какой путь она пройдёт за \(25\ \text{с}\)?
Пешеход идёт со скоростью \(1{,}2\ \text{м/с}\). Вычислите путь за \(5\ \text{мин}\).
Поезд равномерно движется со скоростью \(72\ \text{км/ч}\). Какой путь он пройдёт за \(15\ \text{мин}\)? Выразите ответ в километрах и метрах.
Пловец равномерно проплыл \(150\ \text{м}\) со скоростью \(1{,}5\ \text{м/с}\). Найдите время движения.
Велосипедист должен проехать \(9\ \text{км}\) со скоростью \(18\ \text{км/ч}\). Сколько минут займёт поездка?
Автомобиль равномерно движется со скоростью \(54\ \text{км/ч}\). За сколько секунд он пройдёт \(300\ \text{м}\)?
Два пешехода проходят один и тот же путь длиной \(600\ \text{м}\). Скорости равны \(1\ \text{м/с}\) и \(1{,}5\ \text{м/с}\). На сколько минут раньше придёт второй пешеход, если они вышли одновременно?
Турист шёл \(30\ \text{мин}\) со скоростью \(4\ \text{км/ч}\), отдыхал \(10\ \text{мин}\), затем шёл \(20\ \text{мин}\) со скоростью \(3\ \text{км/ч}\). Найдите общий путь, время движения и продолжительность всего путешествия.
Ученик записал: «Скорость \(2\ \text{м/с}\), время \(3\ \text{мин}\), значит, путь \(6\ \text{м}\)». Объясните ошибку и выполните расчёт правильно.
До школы \(900\ \text{м}\). Ученик идёт со скоростью \(1{,}5\ \text{м/с}\) и хочет прийти к 07:50. Определите время выхода, если остановок не будет. Как изменится время выхода, если по дороге запланирована остановка на две минуты?

Домашнее задание

По тематическому плану: §17.