Решение задач по теме «Законы Ньютона. Сила упругости. Сила трения»

Чтобы объяснить движение тела, нужно установить, какие тела на него действуют, изобразить силы и найти их равнодействующую. В этой теме объединим законы Ньютона, закон Гука и сведения о силе трения.

Какие зависимости понадобятся

В инерциальной системе отсчёта при нулевой равнодействующей тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Если равнодействующая не равна нулю, скорость изменяется. Второй закон Ньютона связывает равнодействующую сил с ускорением:

\[ \vec F_{\text{рез}}=m\vec a. \]

Сила, действующая на тело, не обязательно направлена по его скорости. Например, при торможении ускорение направлено против скорости.

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по величине и противоположны по направлению. Они приложены к разным телам, поэтому не могут взаимно сократиться в уравнении движения одного тела.

Сила упругости пружины в пределах применимости закона Гука:

\[ F_{\text{упр}}=k\Delta l, \]

где \(k\) — жёсткость пружины, а \(\Delta l\) — величина её удлинения или сжатия. Деформацию выражают в метрах, жёсткость — в ньютонах на метр. Сила упругости направлена в сторону восстановления первоначальной формы.

При скольжении по неподвижной опоре сила трения направлена против движения тела относительно опоры. В принятой школьной модели:

\[ F_{\text{тр}}=\mu N, \]

где \(N\) — сила нормальной реакции опоры, \(\mu\) — коэффициент трения скольжения. Равенство \(N=mg\) справедливо для горизонтальной поверхности, если отсутствуют другие вертикальные силы и вертикальное ускорение равно нулю.

Трение покоя подстраивается под действие других сил до своего предельного значения. Если небольшой горизонтальный толчок не сдвинул ящик, это не означает, что сила трения отсутствует или уже достигла максимума.

Порядок решения

Выберите тело, движение которого рассматриваете. Выпишите известные величины и переведите единицы в СИ.
Сделайте рисунок. Изобразите только силы, приложенные к выбранному телу, и подпишите, какое тело создаёт каждую силу.
Выберите оси. Обычно одну направляют вдоль движения, другую — перпендикулярно поверхности.
Запишите второй закон Ньютона в проекциях. Знаки определяйте по направлению сил относительно осей.
Выразите силы через нужные величины: например, через деформацию пружины или реакцию опоры.
Найдите неизвестное, проверьте единицы и физический смысл результата.

Стрелку скорости можно добавить отдельно, но скорость не является силой. Также не нужно рисовать особую «силу движения».

Пример: тяга и трение

Брусок массой \(2\ \text{кг}\) скользит по горизонтальной поверхности. Его тянут горизонтально с силой \(8\ \text{Н}\). Коэффициент трения скольжения \(0{,}2\). Найдём ускорение, приняв \(g=10\ \text{м/с}^2\).

На брусок действуют сила тяжести вниз, реакция опоры вверх, сила тяги по движению и сила трения против движения. Вертикального ускорения нет:

\[ N-mg=0,\qquad N=mg=20\ \text{Н}. \]

Сила трения:

\[ F_{\text{тр}}=\mu N=0{,}2\cdot20\ \text{Н}=4\ \text{Н}. \]

Направим горизонтальную ось по движению:

\[ F-F_{\text{тр}}=ma. \]

Тогда:

\[ a=\frac{8-4}{2}\ \frac{\text{Н}}{\text{кг}}=2\ \text{м/с}^2. \]

Равнодействующая направлена по скорости, поэтому брусок разгоняется. Если бы тяга равнялась силе трения, уже движущийся брусок продолжал бы скользить равномерно.

Пример: пружина тянет брусок равномерно

Брусок массой \(1\ \text{кг}\) равномерно тянут по горизонтальной поверхности пружиной жёсткостью \(100\ \text{Н/м}\). Пружина направлена горизонтально, коэффициент трения скольжения \(0{,}3\). Найдём её удлинение при \(g=10\ \text{м/с}^2\).

Движение равномерное и прямолинейное, поэтому ускорение равно нулю. Сила упругости уравновешивает силу трения:

\[ k\Delta l-\mu mg=0. \]

Отсюда:

\[ \Delta l=\frac{\mu mg}{k} =\frac{0{,}3\cdot1\cdot10}{100}\ \text{м} =0{,}03\ \text{м}=3\ \text{см}. \]

Силы упругости и трения действуют на один брусок. Их равенство в этой задаче следует из отсутствия ускорения, а не из третьего закона Ньютона. Парная сила к действию пружины на брусок — действие бруска на пружину.

Пример: торможение после прекращения тяги

Брусок скользит вправо по горизонтальной поверхности со скоростью \(4\ \text{м/с}\). Тягу убрали. Коэффициент трения скольжения \(0{,}2\); примем \(g=10\ \text{м/с}^2\). Найдём время до остановки.

Горизонтально действует только трение. Ось направим вправо:

\[ -\mu mg=ma_x,\qquad a_x=-\mu g=-2\ \text{м/с}^2. \]

Используем зависимость скорости от времени при постоянном ускорении:

\[ v_x=v_{0x}+a_xt. \]

В момент остановки \(v_x=0\), поэтому:

\[ t=\frac{0-4}{-2}\ \text{с}=2\ \text{с}. \]

Эти уравнения описывают скольжение до остановки. После неё нельзя продолжать расчёт с той же силой трения скольжения и делать вывод, что брусок сам поедет влево.

Как проверить решение

Если движение равномерное и прямолинейное, сумма проекций сил должна быть равна нулю. Наличие нескольких сил само по себе не означает разгона.

Если получено отрицательное ускорение, сравните его направление с выбранной осью и скоростью. Отрицательный знак не обязательно означает ошибку.

Проверьте масштаб: при силе в несколько ньютонов и массе в несколько килограммов ускорение обычно получается порядка единиц метров в секунду за секунду. Удлинение пружины в сантиметрах перед подстановкой нужно перевести в метры.

Задачи для самостоятельной работы

Во всех задачах принимайте \(g=10\ \text{м/с}^2\). Для каждой задачи сделайте рисунок сил и запишите уравнение движения или равновесия.

На тело массой \(3\ \text{кг}\) действуют две горизонтальные силы: \(15\ \text{Н}\) вправо и \(6\ \text{Н}\) влево. Найдите величину и направление ускорения.
Пружина жёсткостью \(250\ \text{Н/м}\) растянута на \(4\ \text{см}\). Найдите силу упругости. Как изменится эта сила при удвоении удлинения в пределах применимости закона Гука?
Брусок массой \(4\ \text{кг}\) скользит по горизонтальному столу. Коэффициент трения скольжения \(0{,}15\). Найдите реакцию опоры и силу трения.
Брусок массой \(3\ \text{кг}\) скользит вправо. К нему приложена горизонтальная сила \(12\ \text{Н}\) вправо. Коэффициент трения скольжения \(0{,}2\). Найдите ускорение.
Брусок массой \(2\ \text{кг}\) тянут равномерно по горизонтальной поверхности пружиной жёсткостью \(200\ \text{Н/м}\). Пружина горизонтальна и растянута на \(2\ \text{см}\). Найдите коэффициент трения скольжения.
Брусок скользит по горизонтальной поверхности с начальной скоростью \(6\ \text{м/с}\). Коэффициент трения скольжения \(0{,}3\), горизонтальной тяги нет. Найдите ускорение и время до остановки.
Ящик остаётся неподвижным, когда его тянут горизонтально с силой \(5\ \text{Н}\). Чему равна сила трения покоя? Можно ли по этим данным определить её максимальное значение?
Книга лежит на горизонтальном столе. Укажите силы, действующие на книгу, и парную силу по третьему закону Ньютона для каждой из них. Объясните, почему сила тяжести и реакция опоры не являются такой парой.

Домашнее задание по тематическому плану: §11–13, 17, 19.